Encontre as derivadas sucessivas
e
da função abaixo:
Passo 1
O exercício pede as derivadas de ordem 1, 2 e 3 de uma função que mistura uma raiz fracionária de
com um polinômio. O conteúdo principal é derivação usando a regra da cadeia e a regra do produto, além da fórmula básica
.
Passo 2
Vamos achar
. Escrevendo
, aplicamos a regra da cadeia em
e a derivada de
.
A derivada de
é
A derivada de
é (-4x^3). Logo,
Passo 3
Agora a segunda derivada
. Denotando
temos
. Usamos produto e cadeia para
:
E a derivada de
é (-12x^2). Portanto,
Passo 4
Por fim, a terceira derivada
. Chamando os termos de
e
, e lembrando de derivar
que dá
, obtemos:
Derivada de
:
Derivada de
por produto e cadeia:
Somando e incluindo
, temos
Juntando os termos semelhantes em
:
Resposta
f’(x)=\displaystyle\frac{3x2}{4,(x3-1)^{3/4}} - 4x^3
f’’(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x,(x3-1){-3/4} - \frac{27}{16}x4,(x3-1)^{-7/4} -12x^2
f’’’(x)=\displaystyle\frac{3}{2}(x3-1){-3/4} - \frac{81}{8}x3,(x3-1)^{-7/4} + \frac{567}{64}x6,(x3-1)^{-11/4} -24x