Encontre as derivadas sucessivas f^prime(x), f^prime prime(x) e f^prime prime prime(x) da função abaixo:
f(x)=raiz[4]x^3-1-x^4

Passo 1

O exercício pede as derivadas de ordem 1, 2 e 3 de uma função que mistura uma raiz fracionária de x^3-1 com um polinômio. O conteúdo principal é derivação usando a regra da cadeia e a regra do produto, além da fórmula básica ddxx^n = n x^n-1.

Passo 2

Vamos achar f'(x). Escrevendo f(x) = (x^3-1)^1/4 - x^4, aplicamos a regra da cadeia em (x^3-1)^1/4 e a derivada de -x^4.
A derivada de (x^3-1)^1/4 é
14(x^3-1)^-3/4 cdot ddx(x^3-1) = 14(x^3-1)^-3/4 cdot 3x^2 = 3x^24,(x^3-1)^3/4
A derivada de -x^4) é (-4x^3). Logo,
f'(x)=3x^24,(x^3-1)^3/4 - 4x^3

Passo 3

Agora a segunda derivada f''(x). Denotando
A(x)=3x^24(x^3-1)^-3/4,
temos f'(x)=A(x)-4x^3. Usamos produto e cadeia para A'(x):
A'(x)=34l[2x,(x^3-1)^-3/4 + x^2cdot(-tfrac34)(x^3-1)^-7/4cdot3x^2r] = 32x,(x^3-1)^-3/4 - 2716x^4,(x^3-1)^-7/4
E a derivada de -4x^3) é (-12x^2). Portanto,
f''(x)=32x,(x^3-1)^-3/4 - 2716x^4,(x^3-1)^-7/4 -12x^2

Passo 4

Por fim, a terceira derivada f'''(x). Chamando os termos de B(x)=tfrac32x,(x^3-1)^-3/4 e C(x)=-tfrac2716x^4,(x^3-1)^-7/4, e lembrando de derivar -12x^2) que dá -24x), obtemos:
Derivada de B(x):
B'(x)=32(x^3-1)^-3/4 + 32xcdot(-tfrac94x^2)(x^3-1)^-7/4 = 32(x^3-1)^-3/4 - 278x^3,(x^3-1)^-7/4
Derivada de C(x) por produto e cadeia:
C'(x)= -tfrac274x^3,(x^3-1)^-7/4 + tfrac2716x^4cdottfrac214x^2,(x^3-1)^-11/4 = -274x^3,(x^3-1)^-7/4 + 56764x^6,(x^3-1)^-11/4
Somando e incluindo -24x), temos
f'''(x)=32(x^3-1)^-3/4 - 278x^3,(x^3-1)^-7/4 - 274x^3,(x^3-1)^-7/4 + 56764x^6,(x^3-1)^-11/4 -24x
Juntando os termos semelhantes em x^3(x^3-1)^-7/4:
f'''(x)=32(x^3-1)^-3/4 - 818x^3,(x^3-1)^-7/4 + 56764x^6,(x^3-1)^-11/4 -24x

Resposta

f’(x)=\displaystyle\frac{3x2}{4,(x3-1)^{3/4}} - 4x^3
f’’(x)=\displaystyle\frac{3}{2}x,(x3-1){-3/4} - \frac{27}{16}x4,(x3-1)^{-7/4} -12x^2
f’’’(x)=\displaystyle\frac{3}{2}(x3-1){-3/4} - \frac{81}{8}x3,(x3-1)^{-7/4} + \frac{567}{64}x6,(x3-1)^{-11/4} -24x

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