Encontre as derivadas sucessivas f^prime(x), f^prime prime(x) e f^prime prime prime(x) da função abaixo:
f(x)=ln (x^3-x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas de ordem 1, 2 e 3 de f(x)=ln(x³−x). Vamos usar a regra da cadeia para ln(u) e, em seguida, regra do quociente e produto para as derivadas sucessivas.

Passo 2

Para achar f′(x) aplicamos ddxln(u)=u'u, com u=x^3−x e u'=3x^2−1. Então:
f'(x)=3x^2-1x^3-x

Passo 3

Para f′′(x) derivamos f′(x)= N/D usando a regra do quociente: f''=N'D-ND'D^2. Aqui N=3x^2-1, N'=6x, D=x^3-x, D'=3x^2-1. Logo:
f''(x)=6x(x^3-x)-(3x^2-1)^2(x^3-x)^2=-3x^4+1(x^3-x)^2

Passo 4

Para f′′′(x) escrevemos f′′(x)= -(3x^4+1))(x^3-x)^-2 e usamos produto + regra da cadeia. Sejas g=-(3x^4+1), g'=-12x^3 e h=(x^3-x)^-2, h'=-2(3x^2-1)(x^3-x)^-3. Assim:
f'''(x)=g'h+gh'=2(3x^6+3x^4+3x^2-1)(x^3-x)^3

Resposta

As derivadas são:
f'(x)=3x^2-1x^3-x
f''(x)=-3x^4+1(x^3-x)^2
f'''(x)=2(3x^6+3x^4+3x^2-1)(x^3-x)^3

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