Encontre o determinante de cada uma das seguintes matrizes
Encontre o determinante da matriz
B=\left(\begin{array}{llll} 3 & 4 & 5 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 6 & 3 \\\\ 7 & 2 & 9 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá a matriz B:
B=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 6 & 3 \\\\ 7 & 2 & 9 & 4 \end{pmatrix}
  • Pede o determinante \det(B).
Liste das informações relevantes:
  • A matriz é 4\times4.
  • A segunda linha de B é \bigl(1,\,0,\,1,\,0\bigr), o que tem dois zeros e facilita uma expansão por cofatores nessa linha.

Passo 2

Escolha do método e explicação da fórmula que vou usar.
Vou usar a expansão por cofatores (também chamada de regra de Laplace) ao longo da segunda linha, porque essa linha tem elementos nulos, o que reduz bastante o trabalho.
A fórmula geral de expansão por cofatores ao longo da linha i é:
\det(B)=\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j}\,b_{ij}\,\det(M_{ij}),
onde:
  • b_{ij} é o elemento da matriz na linha i e coluna j;
  • M_{ij} é a matriz obtida de B ao eliminar a linha i e a coluna j (submatriz (n-1)\times(n-1));
  • (-1)^{i+j} é o sinal do cofator (alternando conforme i+j).
Usando a linha i=2, como b_{2,2}=0 e b_{2,4}=0, só precisamos das colunas j=1 e j=3. Assim
\det(B)=(-1)^{2+1}b_{21}\det(M_{21}) + (-1)^{2+3}b_{23}\det(M_{23}).
Substituindo b_{21}=1 e b_{23}=1 obtemos
\det(B)=-\det(M_{21})-\det(M_{23}).

Passo 3

Construir M_{21} e calcular \det(M_{21}).
Ao retirar a linha 2 e a coluna 1 de B obtemos a submatriz M_{21} (matriz 3\times3):
M_{21}=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 \\\\ 3 & 6 & 3 \\\\ 2 & 9 & 4 \end{pmatrix}.
Para calcular o determinante de uma 3\times3 vou usar a regra de Sarrus. Para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{pmatrix}
a regra dá
\det = aei + bfg + cdh - (ceg + afh + bdi).
Aplicando com a=4,b=5,c=2,d=3,e=6,f=3,g=2,h=9,i=4:
Termos positivos:
4\cdot6\cdot4 = 96,\qquad 5\cdot3\cdot2 = 30,\qquad 2\cdot3\cdot9 = 54.
Soma positiva:
96 + 30 + 54 = 180.
Termos negativos:
2\cdot6\cdot2 = 24,\qquad 4\cdot3\cdot9 = 108,\qquad 5\cdot3\cdot4 = 60.
Soma negativa:
24 + 108 + 60 = 192.
Portanto
\det(M_{21}) = 180 - 192 = -12.

Passo 4

Construir M_{23} e calcular \det(M_{23}).
Ao retirar a linha 2 e a coluna 3 de B obtemos
M_{23}=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\\\ 2 & 3 & 3 \\\\ 7 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Novamente aplicando a regra de Sarrus com a=3,b=4,c=2,d=2,e=3,f=3,g=7,h=2,i=4:
Termos positivos:
3\cdot3\cdot4 = 36,\qquad 4\cdot3\cdot7 = 84,\qquad 2\cdot2\cdot2 = 8.
Soma positiva:
36 + 84 + 8 = 128.
Termos negativos:
2\cdot3\cdot7 = 42,\qquad 3\cdot3\cdot2 = 18,\qquad 4\cdot2\cdot4 = 32.
Soma negativa:
42 + 18 + 32 = 92.
Portanto
\det(M_{23}) = 128 - 92 = 36.

Passo 5

Combinar os resultados segundo a expansão por cofatores.
Recordando da fórmula do Passo 2:
\det(B) = -\det(M_{21}) - \det(M_{23}).
Substituindo os determinantes calculados:
\det(B) = -\bigl((-12)\bigr) - 36 = -\bigl((-12) + 36\bigr).

Resposta

-24

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