Encontre o determinante de cada uma das seguintes matrizes
Encontre o determinante da matriz
Encontre o determinante da matriz
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dá a matriz
:
- Pede o determinante
.
Liste das informações relevantes:
- A matriz é
. - A segunda linha de
é , o que tem dois zeros e facilita uma expansão por cofatores nessa linha.
Passo 2
Escolha do método e explicação da fórmula que vou usar.
Vou usar a expansão por cofatores (também chamada de regra de Laplace) ao longo da segunda linha, porque essa linha tem elementos nulos, o que reduz bastante o trabalho.
A fórmula geral de expansão por cofatores ao longo da linha
é:
onde:
-
é o elemento da matriz na linha e coluna ; -
é a matriz obtida de ao eliminar a linha e a coluna (submatriz ); -
é o sinal do cofator (alternando conforme ).
Usando a linha
, como
e
, só precisamos das colunas
e
. Assim
Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Construir
e calcular
.
Ao retirar a linha
e a coluna
de
obtemos a submatriz
(matriz
):
Para calcular o determinante de uma
vou usar a regra de Sarrus. Para uma matriz
a regra dá
Aplicando com
:
Termos positivos:
Soma positiva:
Termos negativos:
Soma negativa:
Portanto
Passo 4
Construir
e calcular
.
Ao retirar a linha
e a coluna
de
obtemos
Novamente aplicando a regra de Sarrus com
:
Termos positivos:
Soma positiva:
Termos negativos:
Soma negativa:
Portanto
Passo 5
Combinar os resultados segundo a expansão por cofatores.
Recordando da fórmula do Passo 2:
Substituindo os determinantes calculados: