Antes de mexer nas linhas, lembro rapidamente as propriedades de operações elementares que vou usar (isso é importante para poder simplificar a matriz sem “estragar” o determinante):
Substituir uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha (linha i <- linha i + k·linha j) não altera o determinante.
Trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1).
Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Vou usar só a primeira propriedade (adições/subtrações de múltiplos de linhas), que preserva o determinante, e depois expansão por cofatores para terminar a conta. Assim não vou precisar de fatores complicados nem trocar linhas.
Passo 3
Faço operações do tipo “linha i <- linha i - k·linha 1”, com k escolhidos para criar zeros nas primeiras colunas das linhas 2,3,4,5. Essas operações não alteram o determinante. Especificamente:
A segunda linha de A' tem apenas um elemento não nulo, na coluna 5, igual a 2. Posso expandir o determinante por cofatores ao longo dessa segunda linha. A fórmula da expansão por cofator na linha 2 dá:
onde M_{25} é a matriz 4\times4 obtida de A' removendo a linha 2 e a coluna 5. Como \det(A')=\det(A) (porque usei apenas operações que preservam o determinante), tenho
O determinante 2\times2 vale 0\cdot2-1\cdot2=-2. Portanto
\det(M_{11})=-2.
Passo 7
Agora calculo \det(M_{41}). Como a primeira coluna de M_{41} tem zeros nas duas últimas entradas, basta multiplicar o elemento 3 pelo determinante do menor 2\times2 que sobra: