Mostre que
\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 7 & 1 & 3 \\\\ 2 & 3 & 7 & 1 & 5 \\\\ 2 & 3 & 6 & 1 & 9 \\\\ 4 & 6 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 8 & 7 & 4 & 5 \end{array}\right)=2

Passo 1

O enunciado dá a matriz 5\times5 e pede para mostrar que o determinante dela é 2. A matriz é
A=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 7 & 1 & 3 \\\\ 2 & 3 & 7 & 1 & 5 \\\\ 2 & 3 & 6 & 1 & 9 \\\\ 4 & 6 & 2 & 3 & 4 \\\\ 5 & 8 & 7 & 4 & 5 \end{array}\right).
Queremos calcular \det(A) e obter o valor 2.

Passo 2

Antes de mexer nas linhas, lembro rapidamente as propriedades de operações elementares que vou usar (isso é importante para poder simplificar a matriz sem “estragar” o determinante):
  • Substituir uma linha por ela mais um múltiplo de outra linha (linha i <- linha i + k·linha j) não altera o determinante.
  • Trocar duas linhas troca o sinal do determinante (multiplica por -1).
  • Multiplicar uma linha por um escalar c multiplica o determinante por c.
Vou usar só a primeira propriedade (adições/subtrações de múltiplos de linhas), que preserva o determinante, e depois expansão por cofatores para terminar a conta. Assim não vou precisar de fatores complicados nem trocar linhas.

Passo 3

Faço operações do tipo “linha i <- linha i - k·linha 1”, com k escolhidos para criar zeros nas primeiras colunas das linhas 2,3,4,5. Essas operações não alteram o determinante. Especificamente:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2-R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3-R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4-2R_1,\\\ R_5 &\leftarrow R_5-2R_1. \end{aligned}
Calculando cada uma:
R_2-R_1=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 2],
R_3-R_1=[0\\\ 0\\\ -1\\\ 0\\\ 6],
R_4-2R_1=[0\\\ 0\\\ -12\\\ 1\\\ -2],
R_5-2R_1=[1\\\ 2\\\ -7\\\ 2\\\ -1].
Logo a matriz transformada (com o mesmo determinante de A) é
A'=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & 3 & 7 & 1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 6 \\\\ 0 & 0 & -12 & 1 & -2 \\\\ 1 & 2 & -7 & 2 & -1 \end{array}\right).

Passo 4

A segunda linha de A' tem apenas um elemento não nulo, na coluna 5, igual a 2. Posso expandir o determinante por cofatores ao longo dessa segunda linha. A fórmula da expansão por cofator na linha 2 dá:
\det(A') = \sum_{j=1}^{5} a_{2j}(-1)^{2+j}\det(M_{2j}).
j=5 contribui, pois os outros a_{2j}=0. Assim
\det(A') = a_{25}(-1)^{2+5}\det(M_{25}) = 2\cdot(-1)^{7}\det(M_{25}) = -2\det(M_{25}),
onde M_{25} é a matriz 4\times4 obtida de A' removendo a linha 2 e a coluna 5. Como \det(A')=\det(A) (porque usei apenas operações que preservam o determinante), tenho
\det(A) = -2\det(B),
com
B=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 7 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -12 & 1 \\\\ 1 & 2 & -7 & 2 \end{array}\right),
obtida das linhas 1,3,4,5 e colunas 1 a 4 de A'.

Passo 5

Para calcular \det(B) expandimos agora pela primeira coluna (tem zeros que facilitam):
\det(B)=2\cdot(-1)^{1+1}\det(M_{11}) + 0 + 0 + 1\cdot(-1)^{4+1}\det(M_{41}).
Isso é
\det(B)=2\det(M_{11}) - \det(M_{41}),
onde M_{11} é o menor 3\times3 obtido removendo a linha 1 e coluna 1 de B, e M_{41} é o menor 3\times3 obtido removendo a linha 4 e coluna 1 de B.
Explicitamente,
M_{11}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & -12 & 1 \\\\ 2 & -7 & 2 \end{array}\right), \qquad M_{41}=\left(\begin{array}{ccc} 3 & 7 & 1 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & -12 & 1 \end{array}\right).

Passo 6

Calculo \det(M_{11}). Expando pela primeira linha (tem dois zeros):
\det(M_{11}) = 0\cdot(\cdots) + (-1)\cdot(-1)^{1+2}\det\!\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right) + 0\cdot(\cdots).
O sinal (-1)^{1+2}=-1, então a contribuição do termo central é
(-1)\cdot(-1)\det\!\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right)=\det\!\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 2 & 2\end{array}\right).
O determinante 2\times2 vale 0\cdot2-1\cdot2=-2. Portanto
\det(M_{11})=-2.

Passo 7

Agora calculo \det(M_{41}). Como a primeira coluna de M_{41} tem zeros nas duas últimas entradas, basta multiplicar o elemento 3 pelo determinante do menor 2\times2 que sobra:
\det(M_{41}) = 3\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\\\ -12 & 1\end{array}\right).
Esse 2\times2 tem determinante (-1)\cdot1 - 0\cdot(-12) = -1. Assim
\det(M_{41}) = 3\cdot(-1) = -3.

Passo 8

Volto para \det(B):
\det(B)=2\det(M_{11}) - \det(M_{41}) = 2\cdot(-2) - (-3) = -4 + 3 = -1.

Passo 9

Finalmente, uso \det(A) = -2\det(B):
\det(A) = -2\cdot(-1) = 2.

Resposta

2

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