Encontre determinante da matriz B aplicando o Desenvolvimento de Laplace.
B=\left(\begin{array}{llll} 3 & 4 & 5 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 6 & 3 \\ 7 & 2 & 9 & 4 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o determinante da matriz B usando o Desenvolvimento de Laplace. A matriz dada é
B=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 6 & 3 \\\\ 7 & 2 & 9 & 4 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que temos:
  • A matriz é 4\times4.
  • A segunda linha é \bigl(1,\,0,\,1,\,0\bigr), ou seja, contém dois zeros nas colunas 2 e 4.
  • O enunciado exige explicitamente usar o Desenvolvimento de Laplace (expansão por cofatores).

Passo 2

Vou explicar rapidamente o que é o Desenvolvimento de Laplace (sem pular etapas): para qualquer matriz quadrada A=(a_{ij}) de ordem n, o determinante pode ser calculado expandindo ao longo de uma linha i (ou coluna j):
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz obtida de A eliminando a linha i e a coluna j. O fator C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}) é chamado de cofator de a_{ij}. Observação prática: convém escolher para expandir a linha (ou coluna) que tiver mais zeros, porque termos com a_{ij}=0 não contribuem para a soma.
Aqui, a segunda linha tem zeros nas colunas 2 e 4, então é conveniente fazer a expansão de Laplace ao longo da linha 2.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Laplace à linha 2 temos (cada símbolo matemático abaixo está bem definido):
\det(B)=\sum_{j=1}^{4} a_{2j}(-1)^{2+j}\det(M_{2j}).
Como a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=1, a_{24}=0, os termos com j=2 e j=4 desaparecem. Logo
\det(B)=a_{21}(-1)^{2+1}\det(M_{21})+a_{23}(-1)^{2+3}\det(M_{23}).
Substituindo a_{21}=1 e a_{23}=1 e computando os sinais:
(-1)^{2+1}=(-1)^3=-1,\qquad (-1)^{2+3}=(-1)^5=-1,
portanto
\det(B)=-\det(M_{21})-\det(M_{23}).
Agora vou calcular separadamente \det(M_{21}) e \det(M_{23}).

Passo 4

Determinar M_{21}: é a submatriz obtida ao eliminar a linha 2 e a coluna 1 de B. Assim
M_{21}=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 \\\\ 3 & 6 & 3 \\\\ 2 & 9 & 4 \end{pmatrix},
obtida pegando as linhas 1,3,4 e as colunas 2,3,4 de B.
Para calcular o determinante de uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{pmatrix}
usa-se a fórmula
\det=\;a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando a fórmula em M_{21} com a=4, b=5, c=2, d=3, e=6, f=3, g=2, h=9, i=4:
Calcule cada termo interno:
ei-fh=6\cdot4-3\cdot9=24-27=-3,
di-fg=3\cdot4-3\cdot2=12-6=6,
dh-eg=3\cdot9-6\cdot2=27-12=15.
Agora aplicar a fórmula:
\det(M_{21})=4\cdot(-3)-5\cdot6+2\cdot15=-12-30+30=-12.

Passo 5

Determinar M_{23}: é a submatriz obtida ao eliminar a linha 2 e a coluna 3 de B. Assim
M_{23}=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\\\ 2 & 3 & 3 \\\\ 7 & 2 & 4 \end{pmatrix},
obtida pegando as linhas 1,3,4 e as colunas 1,2,4 de B.
Usando novamente a fórmula para 3\times3 com a=3, b=4, c=2, d=2, e=3, f=3, g=7, h=2, i=4:
Calcule cada termo interno:
ei-fh=3\cdot4-3\cdot2=12-6=6,
di-fg=2\cdot4-3\cdot7=8-21=-13,
dh-eg=2\cdot2-3\cdot7=4-21=-17.
Aplicando a fórmula:
\det(M_{23})=3\cdot6-4\cdot(-13)+2\cdot(-17)=18+52-34=36.

Passo 6

Agora volto à expressão obtida no Passo 3:
\det(B)=-\det(M_{21})-\det(M_{23}).
Substituindo \det(M_{21})=-12 e \det(M_{23})=36:
\det(B)=-(-12)-36=12-36=-24.

Resposta

-24

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