Resolva os sistemas por escalonamento. \left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=6 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+3 y-z=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo por escalonamento. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que é pedido (sem resolver ainda):
O que se pede: encontrar os valores de \,x,\;y,\;z\, que satisfazem simultaneamente as três equações.]
Passo 2
Explicando a ideia do escalonamento (em linguagem simples): transformamos o sistema numa matriz aumentada e aplicamos operações elementares nas linhas para obter uma matriz em forma triangular superior (escalonada). As operações permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra. Depois que tivermos a matriz escalonada fazemos substituição regressiva (back-substitution) para obter as incógnitas.
Agora escrevo a matriz aumentada do sistema. Cada linha corresponde a uma equação; as colunas são os coeficientes de \,x,\;y,\;z\, e a última coluna é o termo independente:
Próximo objetivo: eliminar a incógnita \,y\, da terceira linha usando a segunda linha como pivô (o coeficiente de y em R_2 é -3). Para zerar o 2 em R_3 podemos adicionar a R_3 o múltiplo adequado de R_2. A combinação conveniente é
Agora temos uma matriz triangular superior (escalonada): ótimo!]
Passo 5
Fazendo substituição regressiva a partir da última linha: a terceira linha representa a equação
-5z = -9.
Logo
z = \dfrac{-9}{-5} = \dfrac{9}{5}.
Explico rápido: a substituição regressiva significa resolver primeiro a última equação (que contém só uma incógnita após o escalonamento) e então subir usando os valores obtidos.
Passo 6
Agora usemos o valor de \,z na segunda linha. A segunda linha representa
-3y -3z = -9.
Dividindo por -3 (para simplificar) temos
y + z = 3.
Substituindo \,z=\dfrac{9}{5}\,,
y = 3 - z = 3 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{15}{5} - \dfrac{9}{5} = \dfrac{6}{5}.
Passo 7
Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar \,x. A primeira linha corresponde a