Resolva os sistemas por escalonamento.
\left\{\begin{array}{l}x+y+2 z=6 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+3 y-z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo por escalonamento. Vou listar claramente o que nos foi dado e o que é pedido (sem resolver ainda):
As equações do sistema são
\begin{cases} x+y+2z=6,\\[4pt] 2x-y+z=3,\\[4pt] x+3y-z=3. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de \,x,\;y,\;z\, que satisfazem simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Explicando a ideia do escalonamento (em linguagem simples): transformamos o sistema numa matriz aumentada e aplicamos operações elementares nas linhas para obter uma matriz em forma triangular superior (escalonada). As operações permitidas são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra. Depois que tivermos a matriz escalonada fazemos substituição regressiva (back-substitution) para obter as incógnitas.
Agora escrevo a matriz aumentada do sistema. Cada linha corresponde a uma equação; as colunas são os coeficientes de \,x,\;y,\;z\, e a última coluna é o termo independente:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 1 & 3 & -1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 3

Primeiro objetivo: eliminar a incógnita \,x\, nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô (porque o coeficiente de x na linha 1 é 1, simples de usar).
Faço as operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos linha a linha.
Para R_2:
\begin{array}{rcl} 2 - 2\cdot 1 &=& 0,\\[4pt] -1 - 2\cdot 1 &=& -3,\\[4pt] 1 - 2\cdot 2 &=& -3,\\[4pt] 3 - 2\cdot 6 &=& -9. \end{array}
Para R_3:
\begin{array}{rcl} 1 - 1 &=& 0,\\[4pt] 3 - 1 &=& 2,\\[4pt] -1 - 2 &=& -3,\\[4pt] 3 - 6 &=& -3. \end{array}
A matriz fica então
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 0 & -3 & -3 & -9\\[4pt] 0 & 2 & -3 & -3 \end{array}\right].]

Passo 4

Próximo objetivo: eliminar a incógnita \,y\, da terceira linha usando a segunda linha como pivô (o coeficiente de y em R_2 é -3). Para zerar o 2 em R_3 podemos adicionar a R_3 o múltiplo adequado de R_2. A combinação conveniente é
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{2}{3}R_2,
porque \tfrac{2}{3}\cdot(-3)=-2 e assim 2+(-2)=0.
Calculemos \tfrac{2}{3}R_2:
\tfrac{2}{3}R_2 = \left[\,0,\; -2,\; -2,\; -6\,\right].
Agora R_3 + \tfrac{2}{3}R_2:
\begin{array}{rcl} 0 + 0 &=& 0,\\[4pt] 2 + (-2) &=& 0,\\[4pt] -3 + (-2) &=& -5,\\[4pt] -3 + (-6) &=& -9. \end{array}
A nova matriz escalonada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6\\[4pt] 0 & -3 & -3 & -9\\[4pt] 0 & 0 & -5 & -9 \end{array}\right].
Agora temos uma matriz triangular superior (escalonada): ótimo!]

Passo 5

Fazendo substituição regressiva a partir da última linha: a terceira linha representa a equação
-5z = -9.
Logo
z = \dfrac{-9}{-5} = \dfrac{9}{5}.
Explico rápido: a substituição regressiva significa resolver primeiro a última equação (que contém só uma incógnita após o escalonamento) e então subir usando os valores obtidos.

Passo 6

Agora usemos o valor de \,z na segunda linha. A segunda linha representa
-3y -3z = -9.
Dividindo por -3 (para simplificar) temos
y + z = 3.
Substituindo \,z=\dfrac{9}{5}\,,
y = 3 - z = 3 - \dfrac{9}{5} = \dfrac{15}{5} - \dfrac{9}{5} = \dfrac{6}{5}.

Passo 7

Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar \,x. A primeira linha corresponde a
x + y + 2z = 6.
Substituindo y=\dfrac{6}{5} e z=\dfrac{9}{5}:
x = 6 - y - 2z = 6 - \dfrac{6}{5} - 2\cdot\dfrac{9}{5} = 6 - \dfrac{6}{5} - \dfrac{18}{5} = 6 - \dfrac{24}{5} = \dfrac{30}{5} - \dfrac{24}{5} = \dfrac{6}{5}.
Portanto \,x=\dfrac{6}{5},\;y=\dfrac{6}{5},\;z=\dfrac{9}{5}.

Passo 8

Checagem rápida (substituir na equação original para confirmar):
  1. x+y+2z=\dfrac{6}{5}+\dfrac{6}{5}+2\cdot\dfrac{9}{5}=\dfrac{6+6+18}{5}=\dfrac{30}{5}=6 OK.
  2. 2x-y+z=2\cdot\dfrac{6}{5}-\dfrac{6}{5}+\dfrac{9}{5}=\dfrac{12-6+9}{5}=\dfrac{15}{5}=3 OK.
  3. x+3y-z=\dfrac{6}{5}+3\cdot\dfrac{6}{5}-\dfrac{9}{5}=\dfrac{6+18-9}{5}=\dfrac{15}{5}=3 OK.
Tudo confere.

Resposta

x=\dfrac{6}{5}
y=\dfrac{6}{5}
z=\dfrac{9}{5}

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