Resolva os sistemas por escalonamento.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y-3 z=0 \\\\ 5 x-3 y+z=-10 \\\\ -2 x-y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear e pede a solução por escalonamento:
\begin{cases} x+2y-3z=0,\\[4pt] 5x-3y+z=-10,\\[4pt] -2x-y+z=1. \end{cases}
Informações relevantes:
  • As incógnitas são x, y e z.
  • Temos três equações lineares em três incógnitas.
  • Objetivo: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (escalonamento / eliminação de Gauss):
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada (coeficientes + termos independentes).
  • Aplica-se operações elementares sobre linhas (trocar linhas, multiplicar linha por constante não nula, somar múltiplo de uma linha em outra) para obter uma matriz triangular (escalonada).
  • Quando a matriz estiver escalonada, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution).
    Operações elementares preservam o conjunto de soluções do sistema.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0\\[4pt] 5 & -3 & 1 & -10\\[4pt] -2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Primeira etapa de eliminação: usar a primeira linha como pivô para zerar a coluna x nas linhas 2 e 3.
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 5R_1. Cálculo linha a linha:
    • Primeira entrada: 5-5\cdot1=0.
    • Segunda entrada: -3-5\cdot2=-3-10=-13.
    • Terceira entrada: 1-5\cdot(-3)=1+15=16.
    • Termo independente: -10-5\cdot0=-10.
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1. Cálculo:
    • Primeira entrada: -2+2\cdot1=0.
    • Segunda entrada: -1+2\cdot2=-1+4=3.
    • Terceira entrada: 1+2\cdot(-3)=1-6=-5.
    • Termo independente: 1+2\cdot0=1.
Nova matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0\\[4pt] 0 & -13 & 16 & -10\\[4pt] 0 & 3 & -5 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Para facilitar os cálculos, multiplico a segunda linha por -1 (operação permitida) para ter pivô positivo:
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2
Isso dá:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 13 & -16 & 10\\[4pt] 0 & 3 & -5 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora uso R_2 (com pivô 13 na coluna y) para zerar a entrada y em R_3.
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{3}{13}R_2. Cálculo componente a componente:
    • Para a segunda entrada: 3-\dfrac{3}{13}\cdot13=3-3=0 (como esperado).
    • Para a terceira entrada: -5-\dfrac{3}{13}\cdot(-16)=-5+\dfrac{48}{13}=\dfrac{-65+48}{13}=\dfrac{-17}{13}.
    • Para o termo independente: 1-\dfrac{3}{13}\cdot10=1-\dfrac{30}{13}=\dfrac{13-30}{13}=\dfrac{-17}{13}.
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 13 & -16 & 10\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{17}{13} & -\dfrac{17}{13} \end{array}\right]]

Passo 7

Interpreto a terceira linha como equação para z. A terceira linha corresponde a
-\dfrac{17}{13}z=-\dfrac{17}{13}.
Multiplico ambos os lados por -\dfrac{13}{17} (ou simplesmente observo que os coeficiente e o termo independente são iguais), então
z=1.

Passo 8

Substituo z=1 na segunda linha escalonada para encontrar y. A segunda linha corresponde a
13y-16z=10.
Substituindo z=1:
13y-16\cdot 1=10 \quad\Rightarrow\quad 13y=26 \quad\Rightarrow\quad y=2.

Passo 9

Substituo y=2 e z=1 na primeira equação original para encontrar x. A primeira equação é
x+2y-3z=0.
Substituindo:
x+2\cdot 2 -3\cdot 1=0 \quad\Rightarrow\quad x+4-3=0 \quad\Rightarrow\quad x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.

Passo 10

Cheque rápido (substituição nas equações originais) para confirmar:
  • Primeira: x+2y-3z = -1 + 2\cdot2 -3\cdot1 = -1+4-3=0. OK.
  • Segunda: 5x-3y+z = 5(-1)-3\cdot2+1 = -5-6+1=-10. OK.
  • Terceira: -2x-y+z = -2(-1)-2+1 = 2-2+1=1. OK.
    Tudo confere.

Resposta

x=-1
y=2
z=1

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