Resolva os sistemas dados pela Regra de Cramer.
\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0 \\\\ 2 x+y+z=1 \\\\ 3 x-y+z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear, usando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=0\\[4pt] 2x+y+z=1\\[4pt] 3x-y+z=1 \end{array}\right.
Informações dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • As três equações acima.
  • As incógnitas são x,\;y,\;z.
    O objetivo é encontrar os valores de x,\;y,\;z que satisfazem simultaneamente essas equações.]

Passo 2

Explicando a Regra de Cramer (passo a passo, sem pular etapas):
  • Seja A a matriz dos coeficientes do sistema e b o vetor dos termos constantes.
  • Define-se o determinante principal \Delta=\det(A). Se \Delta\neq0, o sistema tem solução única.
  • Para cada incógnita substitui-se a coluna correspondente em A pelo vetor b e calcula-se o determinante resultante: \Delta_x,\Delta_y,\Delta_z.
  • As soluções vêm por
x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta},\qquad y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta},\qquad z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta}.
Aqui: cada símbolo significa
  • \Delta: determinante da matriz dos coeficientes (é um número).
  • \Delta_x: determinante obtido trocando a 1ª coluna por b.
  • \Delta_y: determinante obtido trocando a 2ª coluna por b.
  • \Delta_z: determinante obtido trocando a 3ª coluna por b.

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes A e o vetor b:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular \Delta=\det(A) por desenvolvimento (fórmula para determinante 3\times3):
\Delta = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Substituindo os elementos de A ( a_{11}=1,\;a_{12}=1,\;a_{13}=-1,\;a_{21}=2,\;a_{22}=1,\;a_{23}=1,\;a_{31}=3,\;a_{32}=-1,\;a_{33}=1):
\begin{aligned} a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} &= 1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 1+1 = 2,\\[4pt] a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} &= 2\cdot1 - 1\cdot3 = 2-3 = -1,\\[4pt] a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} &= 2\cdot(-1) - 1\cdot3 = -2-3 = -5. \end{aligned}
Logo
\Delta = 1\cdot2 - 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-5) = 2 + 1 + 5 = 8.
Portanto \Delta=8 (não é zero, então há solução única).]

Passo 5

Calcular \Delta_x: trocar a primeira coluna de A pelo vetor b:
A_x=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Usando a mesma fórmula:
\begin{aligned} \Delta_x &= 0\big(1\cdot1 - 1\cdot(-1)\big) - 1\big(1\cdot1 - 1\cdot1\big) + (-1)\big(1\cdot(-1) - 1\cdot1\big)\\[4pt] &= 0\cdot2 - 1\cdot0 + (-1)\cdot(-2) = 0 + 0 + 2 = 2. \end{aligned}
Portanto \Delta_x=2.]

Passo 6

Calcular \Delta_y: trocar a segunda coluna de A pelo vetor b:
A_y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Determinante:
\begin{aligned} \Delta_y &= 1\big(1\cdot1 - 1\cdot1\big) - 0\big(2\cdot1 - 1\cdot3\big) + (-1)\big(2\cdot1 - 1\cdot3\big)\\[4pt] &= 1\cdot0 - 0\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) = 0 + 0 + 1 = 1. \end{aligned}
Portanto \Delta_y=1.]

Passo 7

Calcular \Delta_z: trocar a terceira coluna de A pelo vetor b:
A_z=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Determinante:
\begin{aligned} \Delta_z &= 1\big(1\cdot1 - 1\cdot(-1)\big) - 1\big(2\cdot1 - 1\cdot3\big) + 0\big(2\cdot(-1) - 1\cdot3\big)\\[4pt] &= 1\cdot2 - 1\cdot(-1) + 0\cdot(-5) = 2 + 1 + 0 = 3. \end{aligned}
Portanto \Delta_z=3.]

Passo 8

Agora aplicar as fórmulas de Cramer:
x=\dfrac{\Delta_x}{\Delta}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4},\qquad y=\dfrac{\Delta_y}{\Delta}=\dfrac{1}{8},\qquad z=\dfrac{\Delta_z}{\Delta}=\dfrac{3}{8}.

Passo 9

Verificação rápida (substituir na 1ª equação para conferir):
x+y-z=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{-2}{8}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=0,
confere; as outras equações também conferem (pode checar do mesmo jeito). Boa — solução correta.

Resposta

x=\dfrac{1}{4}
y=\dfrac{1}{8}
z=\dfrac{3}{8}

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