Encontre a diferença de potencial de um fio finito carregado uniformemente com carga positiva? Como o potencial se comporta ao longo do comprimento do fio e em diferentes pontos ao redor do fio?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra encontrar a diferença de potencial elétrico de um fio finito que está carregado de forma uniforme com carga positiva. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a ideia de potencial elétrico devido a distribuições de carga contínua. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do potencial elétrico para linhas de carga e fazer integrações apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V em um ponto P devido a um elemento de carga dq é dado por:
dV = 14piepsilon0 dqr
onde r é a distância entre o elemento de carga e o ponto P, e epsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Como o fio é finito e carregado uniformemente, podemos considerar que a carga está distribuída ao longo de seu comprimento L com densidade linear de carga lambda = QL, onde Q é a carga total.

Passo 4

Vamos calcular o potencial elétrico em um ponto ao longo do comprimento do fio. Vamos posicionar o fio no eixo x de -L/2 a L/2 e escolher um ponto P na posição x = 0.
O potencial no ponto P será:
V = 14piepsilon0 integral-L/2^L/2 lambda , dxraizx^2 = lambda4piepsilon0 integral-L/2^L/2 dx|x|
Mas, como x varia de -L/2 a L/2, a integral se torna:
V = lambda4piepsilon0 [ ln|L/2-L/2| ] = lambda4piepsilon0 ln(1) = 0
O que não faz sentido físico, então precisamos considerar a simetria e recalcular considerando a distância corretamente.

Passo 5

Vamos recalcular o potencial em um ponto a uma distância r do eixo do fio, fora do fio.
O potencial devido a um trecho pequeno dx do fio a uma distância perpendicular r é:
dV = 14piepsilon0 lambda , dxraizr^2 + x^2

Passo 6

Integrando de -L/2 a L/2 para obter o potencial total:
V = lambda4piepsilon0 integral-L/2^L/2 dxraizr^2 + x^2 = lambda4piepsilon0 [ ln(x + raizr^2 + x^2) ]-L/2^L/2

Passo 7

Calculando os limites:
V = lambda4piepsilon0 [ ln(L2 + raizr^2 + (L2)^2) - ln(-L2 + raizr^2 + (L2)^2) ]
Simplificando:
V = lambda4piepsilon0 ln(L2 + raizr^2 + (L2)^2-L2 + raizr^2 + (L2)^2)

Passo 8

Essa expressão mostra como o potencial varia com a distância r do fio. Ao longo do comprimento do fio, ou seja, quando r to 0, o potencial tende a infinito, indicando que o potencial aumenta à medida que nos aproximamos do fio. Em pontos ao redor do fio, o potencial diminui à medida que a distância r aumenta.

Resposta

A diferença de potencial elétrico devido a um fio finito carregado uniformemente com carga positiva é dada por:
V = lambda4piepsilon0 ln(L2 + raizr^2 + (L2)^2-L2 + raizr^2 + (L2)^2)
O potencial aumenta à medida que nos aproximamos do fio ao longo do seu comprimento e diminui conforme nos afastamos em diferentes pontos ao redor do fio.

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