Encontre a diferença de potencial gerada por um fio infinito uniformemente carregado com carga positiva? Qual é a fórmula para o potencial em um ponto a uma distância r do fio?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio infinito carregado de forma uniforme com carga positiva e precisamos descobrir qual é a diferença de potencial elétrica que esse fio gera. Além disso, queremos encontrar a fórmula que nos dá o potencial em um ponto que está a uma distância $ r $ desse fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico ao redor de um fio carregado e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para um fio infinito com densidade linear de carga $ \lambda $ (carga por unidade de comprimento), o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do fio é dado por:
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, uma constante que aparece nas leis da eletrostática.
Passo 3
Agora, para encontrar o potencial elétrico $ V $ em um ponto a uma distância $ r $ do fio, usamos a relação entre o campo elétrico e o potencial:
Isso significa que o potencial é obtido integrando o campo elétrico em relação à distância.
Passo 4
Substituindo a expressão do campo elétrico na integral, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
A integral de $ \frac{1}{r} $ em relação a $ r $ é $ \ln r $, então:
onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 6
Para encontrar a constante $ C $, escolhemos um ponto de referência onde o potencial é definido como zero. É comum escolher $ V = 0 $ quando $ r = r_0 $, onde $ r_0 $ é uma distância de referência. Aplicando isso:
Resolvendo para $ C $:
Resposta
A diferença de potencial gerada por um fio infinito uniformemente carregado com carga positiva é:
E a fórmula para o potencial em um ponto a uma distância $ r $ do fio é:
onde $ r_0 $ é a distância de referência onde o potencial foi definido como zero.