Encontre a diferença de potencial gerada por um fio infinito uniformemente carregado com carga positiva? Qual é a fórmula para o potencial em um ponto a uma distância r do fio?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fio infinito carregado de forma uniforme com carga positiva e precisamos descobrir qual é a diferença de potencial elétrica que esse fio gera. Além disso, queremos encontrar a fórmula que nos dá o potencial em um ponto que está a uma distância $ r $ desse fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como o campo elétrico ao redor de um fio carregado e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para um fio infinito com densidade linear de carga $ \lambda $ (carga por unidade de comprimento), o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ do fio é dado por:
lambda
Aqui, $ \epsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, uma constante que aparece nas leis da eletrostática.

Passo 3

Agora, para encontrar o potencial elétrico $ V $ em um ponto a uma distância $ r $ do fio, usamos a relação entre o campo elétrico e o potencial:
V
Isso significa que o potencial é obtido integrando o campo elétrico em relação à distância.

Passo 4

Substituindo a expressão do campo elétrico na integral, temos:
V = - integral lambda2 pi epsilon0 r , dr

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
V = - lambda2 pi epsilon0 integral 1r , dr
A integral de $ \frac{1}{r} $ em relação a $ r $ é $ \ln r $, então:
1r
onde $ C $ é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 6

Para encontrar a constante $ C $, escolhemos um ponto de referência onde o potencial é definido como zero. É comum escolher $ V = 0 $ quando $ r = r_0 $, onde $ r_0 $ é uma distância de referência. Aplicando isso:
C
Resolvendo para $ C $:
V = 0

Resposta

A diferença de potencial gerada por um fio infinito uniformemente carregado com carga positiva é:
V = lambda2 pi epsilon0 ln ( r0r )
E a fórmula para o potencial em um ponto a uma distância $ r $ do fio é:
r
onde $ r_0 $ é a distância de referência onde o potencial foi definido como zero.

Exercícios relacionados