Encontre o diferencial parcial de f(x, y)=9 x^2 y^3+4 x y^2-10 x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 9x{2}y{3} + 4xy^{2} - 10x $. O objetivo é encontrar os diferenciais parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são derivadas de funções com mais de uma variável, considerando uma variável por vez enquanto mantemos a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é notada como $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ x $.

Passo 3

Derivando o primeiro termo $ 9x{2}y{3} $ em relação a $ x $, temos:
9x^2y^3
Aqui, usamos a regra do poder: derivamos $ x^{2} $, que dá $ 2x $, multiplicando por 9 e mantendo $ y^{3} $ constante.

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo $ 4xy^{2} $ em relação a $ x $:
4xy^2
Como $ y^{2} $ é constante em relação a $ x $, a derivada de $ x $ é 1, então fica $ 4y^{2} $.

Passo 5

Derivamos o último termo $ -10x $ em relação a $ x $:
-10x
Aqui, a derivada de $ x $ é 1, então fica apenas $ -10 $.

Passo 6

Agora, somamos todas as derivadas parciais dos termos em relação a $ x $:
x

Passo 7

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, notada como $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ y $.

Passo 8

Derivando o primeiro termo $ 9x{2}y{3} $ em relação a $ y $, temos:
9x^2y^3
Usamos a regra do poder: derivamos $ y^{3} $, que dá $ 3y^{2} y x^{2} $.

Passo 9

Derivamos o segundo termo $ 4xy^{2} $ em relação a $ y $:
4xy^2
Aqui, a derivada de $ y^{2} $ é $ 2y y x $.

Passo 10

Derivamos o último termo $ -10x $ em relação a $ y $:
-10x
Como não há $ y $ nesse termo, a derivada é zero.

Passo 11

Agora, somamos todas as derivadas parciais dos termos em relação a $ y $:
y

Resposta

Os diferenciais parciais da função $ f(x, y) $ são:
f(x, y)
partial fpartial x = 18xy^3 + 4y^2 - 10

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