Encontre o diferencial parcial de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 9x{2}y{3} + 4xy^{2} - 10x $. O objetivo é encontrar os diferenciais parciais dessa função em relação a $ x $ e $ y $. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais, que são derivadas de funções com mais de uma variável, considerando uma variável por vez enquanto mantemos a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é notada como $ \frac{\partial f}{\partial x} $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ x $.
Passo 3
Derivando o primeiro termo $ 9x{2}y{3} $ em relação a $ x $, temos:
Aqui, usamos a regra do poder: derivamos $ x^{2} $, que dá $ 2x $, multiplicando por 9 e mantendo $ y^{3} $ constante.
Passo 4
Agora, derivamos o segundo termo $ 4xy^{2} $ em relação a $ x $:
Como $ y^{2} $ é constante em relação a $ x $, a derivada de $ x $ é 1, então fica $ 4y^{2} $.
Passo 5
Derivamos o último termo $ -10x $ em relação a $ x $:
Aqui, a derivada de $ x $ é 1, então fica apenas $ -10 $.
Passo 6
Agora, somamos todas as derivadas parciais dos termos em relação a $ x $:
Passo 7
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, notada como $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Desta vez, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ y $.
Passo 8
Derivando o primeiro termo $ 9x{2}y{3} $ em relação a $ y $, temos:
Usamos a regra do poder: derivamos $ y^{3} $, que dá $ 3y^{2}
x^{2} $.
Passo 9
Derivamos o segundo termo $ 4xy^{2} $ em relação a $ y $:
Aqui, a derivada de $ y^{2} $ é $ 2y
x $.
Passo 10
Derivamos o último termo $ -10x $ em relação a $ y $:
Como não há $ y $ nesse termo, a derivada é zero.
Passo 11
Agora, somamos todas as derivadas parciais dos termos em relação a $ y $:
Resposta
Os diferenciais parciais da função $ f(x, y) $ são: