Encontre a dimensão e uma base do conjunto solução W de cada um dos sistemas homogêneos seguintes.
x-y+2 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo em R^3 com a única equação
x - y + 2z = 0
O objetivo é encontrar o espaço das soluções W, determinar sua dimensão e exibir uma base. Para isso, vamos usar a técnica de parametrização de variáveis livres do sistema linear.

Passo 2

Isolando uma variável principal, por exemplo x, obtemos
x = y - 2z
Como só há uma equação para três incógnitas, temos duas variáveis livres. Definimos
y = s, z = t, s,tin R
Assim, o vetor genérico (x,y,z)in W fica
(x,y,z) = (s-2t,;s,;t) = s,(1,1,0) + t,(-2,0,1)

Passo 3

A escrita acima mostra que toda solução é combinação linear de dois vetores independentes, logo
dim(W)=2
e uma base natural para W é
(1,1,0),,(-2,0,1)

Resposta

dim(W)=2
Uma base de W é (1,1,0),,(-2,0,1)

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