Encontre a dimensão e uma base do conjunto solução W de cada um dos sistemas homogêneos seguintes.
x+2 y+3 z+t=0
$2 x+4 y+7 z+4 t=0
2 x+4 y+7 z+4 t=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço de soluções do sistema homogêneo em :
O que faremos é montar a matriz dos coeficientes, aplicar eliminação de Gauss, identificar as variáveis livres e depois escrever a solução geral para extrair uma base.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (sem coluna de termos independentes, pois é homogênea) e aplicamos operações elementares:
1 & 2 & 3 & 1 2 & 4 & 7 & 4 3 & 6 &10 & 5 ;xrightarrowR2to R2-2R1,;R3to R3-3R1; 1 & 2 & 3 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 2 ;xrightarrowR3to R3-R2; 1 & 2 & 3 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Da forma escalonada vemos que há pivôs nas colunas de x e z, logo y e t são livres.
Da segunda linha:
z + 2t = 0 Longrightarrow z = -2t
Da primeira linha:
x + 2y + 3z + t = 0 Longrightarrow x = -2y -3z - t
Substituindo z=-2t obtém-se
x = -2y -3(-2t) - t = -2y +6t - t = -2y +5t

Passo 4

Portanto a solução geral é
(x,y,z,t) = (-2y+5t,;y,;-2t,;t) = y,( -2,1,0,0 ) ;+; t,(5,0,-2,1)
Dessa forma, uma base de W é
,(-2,1,0,0),;(5,0,-2,1)

Resposta

dim(W)=2
Uma base é (-2,1,0,0),,(5,0,-2,1).

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