Encontre as dimensões do cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio a que possui a maior área lateral possível.

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo: Queremos inscrever um cilindro circular reto em uma esfera de raio a de modo que a área lateral do cilindro seja máxima. Vamos usar otimização de funções com derivadas e a relação geométrica entre o raio e a altura do cilindro.

Passo 2

Relação geométrica entre raio e altura: Seja r o raio do cilindro e h a altura. Do triângulo retângulo entre o centro da esfera, um ponto na base do cilindro e o topo, temos
r^2 + l(tfrach2r)^2 = a^2
Isolando h:
h = 2raiza^2 - r^2

Passo 3

Expressão da área lateral em função de r: A área lateral do cilindro é
A(r) = 2pi r,h = 2pi r cdot 2raiza^2 - r^2 = 4pi rraiza^2 - r^2
O domínio é 0 < r < a.

Passo 4

Cálculo da derivada e ponto crítico: Derivando A(r):
A'(r) = 4pigl(raiza^2 - r^2 + rcdot -rraiza^2 - r^2gr) = 4pia^2 - 2r^2raiza^2 - r^2
Para máximo, igualamos A'(r)=0, o que dá
a^2 - 2r^2 = 0 Longrightarrow r^2 = a^22 Longrightarrow r = araiz2

Passo 5

Determinação da altura e conclusão: Substituindo r = a/raiz2 em h = 2raiza^2 - r^2:
h = 2raiza^2 - a^22 = 2raiza^22 = raiz2,a
Portanto, o cilindro de raio a/raiz2 e altura raiz2,a tem área lateral máxima.

Resposta

Raio do cilindro: r = tfracaraiz2. Altura do cilindro: h = raiz2,a.

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