Encontre as dimensões do cilindro circular reto inscrito em uma esfera de raio
que possui a maior área lateral possível.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo: Queremos inscrever um cilindro circular reto em uma esfera de raio
de modo que a área lateral do cilindro seja máxima. Vamos usar otimização de funções com derivadas e a relação geométrica entre o raio e a altura do cilindro.
Passo 2
Relação geométrica entre raio e altura: Seja
o raio do cilindro e
a altura. Do triângulo retângulo entre o centro da esfera, um ponto na base do cilindro e o topo, temos
Isolando
:
Passo 3
Expressão da área lateral em função de
: A área lateral do cilindro é
O domínio é
.
Passo 4
Cálculo da derivada e ponto crítico: Derivando
:
Para máximo, igualamos
, o que dá
Passo 5
Determinação da altura e conclusão: Substituindo
em
:
Portanto, o cilindro de raio
e altura
tem área lateral máxima.
Resposta
Raio do cilindro:
. Altura do cilindro:
.