No planejamento de uma lanchonete estimou-se que se existirem lugares para até 80 pessoas o rendimento semanal será de R
por assento. Entretanto, caso o número de assentos estiver acima de 80, o rendimento semanal de cada assento será reduzido em R
por cada assento que exceder os 80 . Quantos assentos a lanchonete deverá comportar para se obter o máximo rendimento semanal? Qual é o rendimento máximo?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos assentos a lanchonete deve ter para maximizar o rendimento semanal, sabendo que até 80 assentos o rendimento é de R$ 700,00 por assento e que, para cada assento acima de 80, o rendimento por assento cai R$ 5,00. O tema é otimização de função quadrática, e vamos precisar definir uma variável para os assentos acima de 80 e montar a função receita total.
Passo 2
Seja
o número de assentos que excedem 80. Então o total de assentos é
e o rendimento por assento é
. A receita semanal
será o produto entre esses dois:
Expandindo para ver que é uma quadrática:
Passo 3
Para maximizar a função quadrática
, usamos que o vértice ocorre em
Ou seja, devemos ter
assentos além dos 80 iniciais.
Passo 4
O número ótimo de assentos é
O rendimento por assento nessa situação é
, logo a receita máxima é
Resposta
A lanchonete deve ter 110 assentos e o rendimento máximo semanal é de R$ 60.500,00.