No planejamento de uma lanchonete estimou-se que se existirem lugares para até 80 pessoas o rendimento semanal será de R por assento. Entretanto, caso o número de assentos estiver acima de 80, o rendimento semanal de cada assento será reduzido em R por assento Entretanto, caso o número de assentos estiver acima de 80, o rendimento semanal de cada assento será reduzido em R por cada assento que exceder os 80 . Quantos assentos a lanchonete deverá comportar para se obter o máximo rendimento semanal? Qual é o rendimento máximo?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos assentos a lanchonete deve ter para maximizar o rendimento semanal, sabendo que até 80 assentos o rendimento é de R$ 700,00 por assento e que, para cada assento acima de 80, o rendimento por assento cai R$ 5,00. O tema é otimização de função quadrática, e vamos precisar definir uma variável para os assentos acima de 80 e montar a função receita total.

Passo 2

Seja x o número de assentos que excedem 80. Então o total de assentos é 80 + x e o rendimento por assento é 700 - 5x. A receita semanal R(x) será o produto entre esses dois:
R(x) = (80 + x), (700 - 5x)
Expandindo para ver que é uma quadrática:
R(x) = 80cdot700 + 80(-5x) + 700x -5x^2 = 56000 + 300x - 5x^2

Passo 3

Para maximizar a função quadrática R(x) = -5x^2 +300x + 56000, usamos que o vértice ocorre em
xv = -b2a = -3002cdot(-5) = 30
Ou seja, devemos ter x=30 assentos além dos 80 iniciais.

Passo 4

O número ótimo de assentos é
80 + xv = 80 + 30 = 110
O rendimento por assento nessa situação é 700 - 5cdot30 = 550, logo a receita máxima é
R(30) = 110 times 550 = 60500

Resposta

A lanchonete deve ter 110 assentos e o rendimento máximo semanal é de R$ 60.500,00.

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