Aplique a regra da cadeia para calcular as seguintes derivadas:
(n) ; f(x)=ln (x+raizx^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=lnl(x+raizx^2+1r)
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada à função ln, além de derivar x e raizx^2+1.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x+raizx^2+1
e usamos que, para f(x)=ln(u(x)), vale
f'(x)=u'(x)u(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). A derivada de x é 1, e de raizx^2+1 usamos
ddxraizv=v'2raizv,
com v=x^2+1 e v'=2x. Logo,
ddxraizx^2+1=2x2raizx^2+1=xraizx^2+1
Portanto,
u'(x)=1+xraizx^2+1

Passo 4

Substituímos em f'(x)=u'(x)/u(x):
f'(x)=1+dfracxraizx^2+1x+raizx^2+1
Agora simplificamos: escrevendo o numerador sobre o mesmo denominador,
1+xraizx^2+1=raizx^2+1+xraizx^2+1,
então
f'(x)=dfracraizx^2+1+xraizx^2+1x+raizx^2+1=1raizx^2+1

Resposta

f'(x)=1raizx^2+1

Exercícios relacionados