Use o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 3x^{2} - 2xy + y^{2} - 8y $.
Aqui, a matéria envolve cálculo multivariável, especificamente o estudo de pontos críticos e como classificá-los usando derivadas parciais. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função, identificar os pontos críticos e aplicar o teste das segundas derivadas para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $ e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos críticos:
Simplificando a primeira equação:
Substituindo $ y = 3x $ na segunda equação:
Então, $ y = 3(2) = 6 $. Portanto, o ponto crítico é $ (2, 6) $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste das segundas derivadas. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 5
Com essas segundas derivadas, calculamos o discriminante $ D $ no ponto crítico:
Passo 6
Interpretando o valor de $ D $:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
- Se $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = 8 > 0 $ e $ f_{xx} = 6 > 0 $, então é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico $ (2, 6) $ é um mínimo local da função $ f(x, y) = 3x^{2} - 2xy + y^{2} - 8y $.