Use o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos de:
f(x, y)=3 x^2-2 x y+y^2-8 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 3x^{2} - 2xy + y^{2} - 8y $.
Aqui, a matéria envolve cálculo multivariável, especificamente o estudo de pontos críticos e como classificá-los usando derivadas parciais. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função, identificar os pontos críticos e aplicar o teste das segundas derivadas para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem em relação a $ x $ e $ y $ e igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a $ x $ é:
x
A derivada parcial em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações para encontrar os pontos críticos:
6x - 2y = 0 -2x + 2y - 8 = 0
Simplificando a primeira equação:
6x = 2y implies y = 3x
Substituindo $ y = 3x $ na segunda equação:
y = 3x
Então, $ y = 3(2) = 6 $. Portanto, o ponto crítico é $ (2, 6) $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste das segundas derivadas. Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -2

Passo 5

Com essas segundas derivadas, calculamos o discriminante $ D $ no ponto crítico:
D
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2

Passo 6

Interpretando o valor de $ D $:
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, temos um mínimo local.
  • Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, temos um máximo local.
  • Se $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  • Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = 8 > 0 $ e $ f_{xx} = 6 > 0 $, então é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico $ (2, 6) $ é um mínimo local da função $ f(x, y) = 3x^{2} - 2xy + y^{2} - 8y $.

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