Use o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para usar o teste das segundas derivadas para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = 2xy + 3x + 4y $. Basicamente, isso significa que vamos encontrar os pontos onde as derivadas parciais da função são zero e ver se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando a gente varia uma variável mantendo a outra constante.
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, a gente iguala essas derivadas a zero e resolve o sistema de equações:
Vamos resolver a equação (1) para $ y $:
E a equação (2) para $ x $:
Então, o ponto crítico é $ (-2, -\frac{3}{2}) $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste das segundas derivadas para classificar esse ponto crítico. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas da função:
Passo 5
O próximo passo é calcular o determinante da matriz Hessiana, que chamamos de $ D $. A fórmula para $ D $ é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Com o valor de $ D $ calculado, vamos lembrar das regras do teste das segundas derivadas:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto é um mínimo.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $, o ponto é um máximo.
- Se $ D < 0 $, o ponto é um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = -4 $, que é menor que zero. Portanto, o ponto crítico é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico $ (-2, -\frac{3}{2}) $ é um ponto de sela.