Trate dos seguintes limites: lim x 1(raizx-x^21-raizx)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando lim x 1(raizx - x^21 - raizx) se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites e precisamos usar um pouco de álgebra para simplificar a expressão e resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz1 - 1^21 - raiz1 = 1 - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão para verificar o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que não podemos simplesmente substituir o valor e precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma indeterminação , uma técnica útil é racionalizar uma das partes da fração. Neste caso, vamos racionalizar o denominador, que é .

Passo 4

Para racionalizar o denominador raizx - x^21 - raizx times 1 + raizx1 + raizx , multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos:
No numerador:
(raizx - x^2)(1 + raizx) = raizx times 1 + raizx times raizx - x^2 times 1 - x^2 times raizx = raizx + x - x^2 - x^2raizx
No denominador:
(1 - raizx)(1 + raizx) = 1^2 - (raizx)^2 = 1 - x
Então, a expressão fica:
raizx + x - x^2 - x^2raizx1 - x

Passo 6

Observamos que o denominador raizx + x - x^2 - x^2raizx = raizx(1 + raizx) - x^2(1 + raizx) = (1 + raizx)(raizx - x^2) pode ser reescrito como (1 + raizx)(raizx - x^2)-(x - 1) . Além disso, percebemos que (1 + raizx)(raizx - x^2)-(x - 1) = (1 + raizx)(raizx - x^2)1 - x , mas para simplificar ainda mais, vamos fatorar o numerador:
(1 + raiz1)(raiz1 - 1^2)1 - 1 = (1 + 1)(1 - 1)0 = 2 times 00 = 00
Agora, nossa expressão fica:
ddx(raizx - x^2) = 12raizx - 2x
Podemos simplificar mais notando que ddx(1 - raizx) = -12raizx , então:
lim x 1 12raizx - 2x-12raizx = 12 times 1 - 2 times 1-12 times 1 = 12 - 2-12 = -32-12 = 3
Com essa simplificação, conseguimos eliminar a indeterminação e agora podemos calcular o limite substituindo :
Ainda estamos com uma indeterminação, então precisamos simplificar mais. Observando a expressão inicial, podemos perceber que simplificações adicionais são necessárias, ou utilizar outra técnica como a derivada de L’Hôpital.
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :
Então, o limite se torna:

Resposta

lim x 1(raizx - x^21 - raizx) = 3

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