Encontre a direção na qual f(x, y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}
cresce mais rapidamente no ponto (2,2);

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2} e o ponto (2,2).
A pergunta é: “Qual a direção na qual \displaystyle f cresce mais rapidamente no ponto (2,2)?”
Informações relevantes fornecidas:
  • A função explícita: \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}.
  • O ponto onde queremos a direção: \displaystyle (2,2).
  • Pede-se a direção de maior crescimento (ou seja, direção de maior taxa de aumento).

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais e o gradiente, que são as peças-chave.
Definição rápida e amigável: a derivada parcial em relação a x mede como f muda se mexermos só em x, mantendo y fixo; análogo para a derivada parcial em y.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = y.
Aqui cada símbolo significa:
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = taxa de variação de f quando x varia e y é fixo;
  • \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = taxa de variação de f quando y varia e x é fixo;
  • x,y são as coordenadas do ponto onde a derivada parcial é avaliada.
O vetor gradiente é definido por juntar as derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(x,y).
O gradiente aponta para a direção em que f cresce mais rapidamente (essa é a propriedade central que vamos usar — mais adiante mostro por que).

Passo 3

Explicação do porquê o gradiente dá a direção de máximo crescimento (de forma passo a passo, mas simples).
Considere uma direção unitária \displaystyle \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) com \displaystyle \|\mathbf{u}\|=1. A derivada direcional de f na direção \mathbf{u} no ponto (x_{0},y_{0}) é a taxa de variação de f ao mover-se nesse sentido e é dada por:
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u}.
Aqui:
  • \nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u} é o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção \mathbf{u};
  • \|\mathbf{u}\|=1 significa que \mathbf{u} tem comprimento 1 (isso é importante para comparar direções sem mudar a velocidade só por multiplicar o vetor).
Para maximizar D_{\mathbf{u}}f sobre todos os vetores unitários \mathbf{u}, usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz:
\nabla f\cdot\mathbf{u}\le \|\nabla f\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\nabla f\|.
A igualdade ocorre quando \mathbf{u} é paralelo ao gradiente (mesma direção). Portanto a derivada direcional atinge seu máximo quando \mathbf{u} aponta na direção do gradiente.

Passo 4

Agora aplicamos ao ponto específico (2,2).
Calcule o gradiente em (2,2):
\nabla f(2,2)=(2,2).
O comprimento (norma) desse gradiente é
\|\nabla f(2,2)\|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Isso significa que a maior taxa de crescimento possível (a derivada direcional máxima) é \displaystyle 2\sqrt{2}, e ocorre na direção do vetor \displaystyle (2,2).

Passo 5

Normalizamos o vetor gradiente para obter a direção como um vetor unitário (porque “direção” costuma ser dada como vetor de comprimento 1):
\mathbf{u}=\frac{\nabla f(2,2)}{\|\nabla f(2,2)\|}=\frac{(2,2)}{2\sqrt{2}}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Interpretação final: mover-se na direção \displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) a partir de (2,2) faz f crescer o mais rápido possível. O vetor \displaystyle (2,2) (não normalizado) também aponta essa direção, mas a forma unitária acima é a direção em sentido estrito.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)

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