Encontre a direção na qual
cresce mais rapidamente no ponto (2,2);
cresce mais rapidamente no ponto (2,2);
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
.
A pergunta é: “Qual a direção na qual cresce mais rapidamente no ponto
?”
A pergunta é: “Qual a direção na qual
Informações relevantes fornecidas:
- A função explícita:
. - O ponto onde queremos a direção:
. - Pede-se a direção de maior crescimento (ou seja, direção de maior taxa de aumento).
Passo 2
Vamos encontrar as derivadas parciais e o gradiente, que são as peças-chave.
Definição rápida e amigável: a derivada parcial em relação a mede como
muda se mexermos só em
, mantendo
fixo; análogo para a derivada parcial em
.
Definição rápida e amigável: a derivada parcial em relação a
Calcule as derivadas parciais:
Aqui cada símbolo significa:
-
= taxa de variação de quando varia e é fixo; -
= taxa de variação de quando varia e é fixo; -
são as coordenadas do ponto onde a derivada parcial é avaliada.
O vetor gradiente é definido por juntar as derivadas parciais:
O gradiente aponta para a direção em que
cresce mais rapidamente (essa é a propriedade central que vamos usar — mais adiante mostro por que).
Passo 3
Explicação do porquê o gradiente dá a direção de máximo crescimento (de forma passo a passo, mas simples).
Considere uma direção unitária com
. A derivada direcional de
na direção
no ponto
é a taxa de variação de
ao mover-se nesse sentido e é dada por:
Considere uma direção unitária
Aqui:
-
é o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção ; -
significa que tem comprimento 1 (isso é importante para comparar direções sem mudar a velocidade só por multiplicar o vetor).
Para maximizar
sobre todos os vetores unitários
, usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz, que diz:
A igualdade ocorre quando
é paralelo ao gradiente (mesma direção). Portanto a derivada direcional atinge seu máximo quando
aponta na direção do gradiente.
Passo 4
Agora aplicamos ao ponto específico
.
Calcule o gradiente em
:
O comprimento (norma) desse gradiente é
Isso significa que a maior taxa de crescimento possível (a derivada direcional máxima) é
, e ocorre na direção do vetor
.
Passo 5
Normalizamos o vetor gradiente para obter a direção como um vetor unitário (porque “direção” costuma ser dada como vetor de comprimento 1):
Interpretação final: mover-se na direção
a partir de
faz
crescer o mais rápido possível. O vetor
(não normalizado) também aponta essa direção, mas a forma unitária acima é a direção em sentido estrito.