A temperatura de uma chapa plana é dada por T(x, y)=x^2+y^2 ( T em ^0 C, x e y em cm ).
Determine, a partir do ponto (1,2), a direção em que a temperatura decresce mais rapidamente, e qual a taxa de decrescimento;

Passo 1

O enunciado nos dá a função temperatura T(x,y)=x^2+y^2 em uma chapa plana e pede, no ponto (1,2), a direção de decrescimento mais rápido e a taxa de decrescimento. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

O gradiente de T é o vetor das derivadas parciais. Calculamos:
nabla T(x,y)=l(partial Tpartial x,partial Tpartial yr)=(2x,2y)
No ponto (1,2) isso fica
nabla T(1,2)=(2cdot1,2cdot2)=(2,4)

Passo 3

A direção de maior aumento de T é dada pelo vetor gradiente nabla T(1,2)=(2,4). Logo, a direção de maior decrescimento é o negativo desse vetor. Podemos usar o vetor unitário nessa direção para uma resposta mais padronizada:
u=-1|nabla T(1,2)|(2,4)=-1raiz2^2+4^2(2,4)=-1raiz20(2,4)=l(-1raiz5,-2raiz5r)

Passo 4

A taxa máxima de decrescimento é a derivada direcional na direção de -nabla T, que vale o negativo da norma do gradiente. Calculamos a norma:
|nabla T(1,2)|=raiz2^2+4^2=raiz20=2raiz5
Portanto, a taxa de decrescimento máximo é
-|nabla T(1,2)|=-2raiz5(,^circC/cm,)

Resposta

A direção de decrescimento mais rápido, em forma de vetor unitário, é l(-tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5r) e a taxa de decrescimento máximo é -2raiz5,^circC/cm.

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