A temperatura de uma chapa plana é dada por
(
e
).
Determine, a partir do ponto
, a direção em que a temperatura decresce mais rapidamente, e qual a taxa de decrescimento;
Determine, a partir do ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a função temperatura
em uma chapa plana e pede, no ponto
, a direção de decrescimento mais rápido e a taxa de decrescimento. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais. Calculamos:
No ponto
isso fica
Passo 3
A direção de maior aumento de
é dada pelo vetor gradiente
. Logo, a direção de maior decrescimento é o negativo desse vetor. Podemos usar o vetor unitário nessa direção para uma resposta mais padronizada:
Passo 4
A taxa máxima de decrescimento é a derivada direcional na direção de
, que vale o negativo da norma do gradiente. Calculamos a norma:
Portanto, a taxa de decrescimento máximo é
Resposta
A direção de decrescimento mais rápido, em forma de vetor unitário, é
e a taxa de decrescimento máximo é
.