Mostre que não existe função f de classe C^2 para a qual
fx(x, y)=3 x^2+6 y e fy(x, y)=12 x+6 y^2 para todo (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe uma função f de classe C² em ℝ² cujas derivadas parciais sejam dadas por fₓ(x,y)=3x²+6y e fᵧ(x,y)=12x+6y². Vamos usar o Teorema de Schwarz (ou de Clairaut), que diz que para uma função C² vale f_{xy}=f_{yx}.

Passo 2

Aplicando ∂/∂y em fₓ(x,y)=3x²+6y, obtemos a derivada mista f_{xy}(x,y). Como 3x² é constante em y e 6y em y dá 6, temos
fxy(x,y)=6

Passo 3

Agora aplicando ∂/∂x em fᵧ(x,y)=12x+6y², obtemos f_{yx}(x,y). Aqui 6y² é constante em x e 12x em x dá 12, então
fyx(x,y)=12

Passo 4

Pelo Teorema de Schwarz, se f é C² devemos ter f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) para todo (x,y). Mas encontramos 6≠12. Isso é uma contradição, logo não pode existir tal função f com essas derivadas parciais.

Resposta

Não existe função C² em ℝ² com fₓ(x,y)=3x²+6y e fᵧ(x,y)=12x+6y², pois suas derivadas parciais cruzadas seriam diferentes (6≠12).

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