Encontre as direções em que f(x, y) cresce e decresce mais rapidamente no ponto dado, bem como as respectivas derivadas direcionais máxima e mínima.
f(x, y)=x^2+2 y^2 ; p0=(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede as direções de crescimento e decrescimento mais rápidos de
f(x,y)=x^2+2y^2
no ponto p0=(1,-1), bem como as derivadas direcionais extremas.
Conteúdo: derivada direcional e gradiente. Sabemos que o gradiente de f no ponto indica a direção de máxima variação e seu módulo é essa variação máxima.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Por definição,
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,,partial fpartial yr)
Como
partial fpartial x=2x e partial fpartial y=4y,
temos
nabla f(x,y)=(2x,,4y)

Passo 3

Avaliar o gradiente em p0=(1,-1):
nabla f(1,-1)=(2cdot1,;4cdot(-1))=(2,,-4)

Passo 4

Módulo do gradiente em p0:
|nabla f(1,-1)|=raiz2^2+(-4)^2 =raiz4+16 =raiz20 =2raiz5
A direção unitária de máximo crescimento é
u =nabla f(1,-1)|nabla f(1,-1)| =(2,-4)2raiz5 =1raiz5,(1,-2),
e a derivada direcional máxima vale
Duf(1,-1)=|nabla f(1,-1)|=2raiz5

Passo 5

A direção de decrescimento mais rápido é a oposta a u, ou seja
v=-u =1raiz5,(-1,2),
e a derivada direcional mínima é
Dvf(1,-1)=-|nabla f(1,-1)|=-2raiz5

Resposta

Direção de crescimento mais rápido: 1raiz5(1,-2) com derivada direcional máxima 2raiz5.
Direção de decrescimento mais rápido: 1raiz5(-1,2) com derivada direcional mínima -2raiz5.

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