Encontre as direções em que
cresce e decresce mais rapidamente no ponto dado, bem como as respectivas derivadas direcionais máxima e mínima.
Passo 1
O enunciado pede as direções de crescimento e decrescimento mais rápidos de
no ponto
, bem como as derivadas direcionais extremas.
Conteúdo: derivada direcional e gradiente. Sabemos que o gradiente de no ponto indica a direção de máxima variação e seu módulo é essa variação máxima.
Conteúdo: derivada direcional e gradiente. Sabemos que o gradiente de
Passo 2
Calcular o gradiente de
. Por definição,
Como
temos
Passo 3
Avaliar o gradiente em
:
Passo 4
Módulo do gradiente em
:
A direção unitária de máximo crescimento é
e a derivada direcional máxima vale
Passo 5
A direção de decrescimento mais rápido é a oposta a
, ou seja
e a derivada direcional mínima é
Resposta
Direção de crescimento mais rápido:
com derivada direcional máxima
.
Direção de decrescimento mais rápido: com derivada direcional mínima
.
Direção de decrescimento mais rápido: