Verifique se os seguintes limites existem ou não. Justifique sua resposta:
lim x 2 ln |x-2|

Passo 1

O enunciado pede para investigar
limxto2lnlvert x-2rvert
que envolve o comportamento do logaritmo natural quando seu argumento se aproxima de zero. Vamos usar propriedades de limites e do valor absoluto para analisar as duas aproximações (pela esquerda e pela direita) até x=2.

Passo 2

Para x próximo de 2, mas diferente de 2, temos sempre lvert x-2rvert>0. De fato:
  • Se xto2^-, então x-2<0 e lvert x-2rvert=2-xto0^+.
  • Se xto2^+, então x-2>0 e lvert x-2rvert=x-2to0^+.
Em ambos os casos o argumento do logaritmo tende a zero pela direita.

Passo 3

Conhecemos a propriedade padrão
limtto0^+ln t = -infty
Como em ambas as direções lvert x-2rvertto0^+, vale
limxto2^-lnlvert x-2rvert = -infty e limxto2^+lnlvert x-2rvert = -infty

Passo 4

Os limites laterais coincidem e divergem para -infty. Portanto, em sentido usual (no conjunto dos reais) não existe limite finito, mas em sentido estendido dizemos que a função diverge para -infty.

Resposta

limxto2lnlvert x-2rvert = -infty

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