Verifique se os seguintes limites existem ou não. Justifique sua resposta:
lim x 0 g(x), onde g(x)=ccx^2|sen 1x| & x>0 x & x <= 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência de
limxto 0g(x),
sendo
g(x)= x^2l|sen1xr|, & x>0, x, & x<=0
O conteúdo é cálculo de limites laterais e uso do Teorema do Sanduíche (ou Confronto).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda, isto é, xto0^-. Para x<=0 vale g(x)=x, que é uma função contínua. Logo
limxto0^-g(x) =limxto0^-x =0

Passo 3

Calculamos o limite pela direita, xto0^+. Para x>0 temos
g(x)=x^2l|sentfrac1xr|
Sabemos que
0<=l|sentfrac1xr|<=1,
então
0<= x^2l|sentfrac1xr|<= x^2
Como limxto0^+x^2=0, pelo Teorema do Sanduíche segue
limxto0^+g(x)=0

Passo 4

Como as duas limítrofes coincidem, isto é,
limxto0^-g(x) = limxto0^+g(x) =0,
concluímos que o limite em 0 existe.

Resposta

limxto0g(x)=0

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