Um sistema com 11 kg passa por um processo no qual 319 kJ de calor é transferido do sistema para a vizinhança. A energia interna específica do sistema diminui 26 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}. Assuma que: - a aceleração da gravidade é constante e igual a 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. - o calor recebido pelo sistema tem sinal positivo e o calor rejeitado pelo sistema tem sinal negativo. - o trabalho recebido pelo sistema tem sinal positivo e o trabalho feito pelo sistema tem sinal negativo. Nas respostas dos próximos itens, insira o valor do trabalho utilizando sinal positivo ou negativo, de acordo com a convenção de sinais adotada para o sistema neste exercício. A variação de volume e de temperatura deve ser considerada negativa quando decrescer e positiva, quando crescer.
( \mathbf{5 0} \boldsymbol{\%} ) Assumindo que a velocidade do sistema varia de 32 a 64 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e que a altura do sistema aumenta 522 m durante o processo, o trabalho que ocorre nesse processo é \square kJ e a variação da temperatura do sistema é \square { }^{\circ} \mathrm{C} se o processo pode ser considerado politrópico com expoente igual a -0.722 e o sistema se comporta como um gás ideal com constante igual a 0.3 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}.

Passo 1

Identificar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.\n
Dados fornecidos:\n
  • Massa do sistema: m=11\\ \mathrm{kg}.\n
  • Calor transferido do sistema para a vizinhança: 319\\ \mathrm{kJ}. Pela convenção dada, calor rejeitado é negativo, então Q = -319\\ \mathrm{kJ}.\n
  • Variação da energia interna específica: \Delta u_{\text{esp}} = -26\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
  • Aceleração da gravidade: g=8\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
  • Velocidade inicial: v_1=32\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Velocidade final: v_2=64\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Elevação (variação de altura): \Delta z = +522\\ \mathrm{m} (a altura aumenta).\n
  • Processo politrópico com expoente n=-0{,}722.\n
  • O gás se comporta como ideal com constante específica R=0{,}3\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.\n
    Conveniências de sinal (repetindo porque é importante na prova): calor recebido >0, calor rejeitado <0; trabalho recebido >0, trabalho feito pelo sistema <0.\n
    O que o enunciado pede neste item (duas coisas):\n
  1. O valor do trabalho W (com o sinal de acordo com a convenção do exercício).\n2) A variação da temperatura \Delta T do sistema (em {}^\circ\mathrm{C}).\n

Passo 2

Calcular a variação total da energia interna do sistema (energia interna absoluta, não específica).\n
Usamos \Delta U = m\cdot \Delta u_{\text{esp}}.\n
Substituindo:\n
\Delta U = 11 \cdot (-26) = -286\\ \mathrm{kJ}.
Explicação didática: \Delta u_{\text{esp}} é a variação de energia interna por quilograma; multiplicando pela massa obtemos a variação total da energia interna do sistema.

Passo 3

Calcular a variação da energia cinética do sistema.\n
Fórmula (energia cinética total do sistema): \Delta E_{\text{cin}} = \tfrac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2).\n
Cálculo passo a passo:\n
v_2^2 = 64^2 = 4096,\qquad v_1^2 = 32^2 = 1024,\n
v_2^2 - v_1^2 = 4096-1024 = 3072,\n
\Delta E_{\text{cin}} = \tfrac{1}{2}\cdot 11 \cdot 3072 = 5{,}5\cdot 3072 = 16896\\ \mathrm{J} = 16{,}896\\ \mathrm{kJ}.\n
Comentário didático: converti joules para kilojoules dividindo por 1000. Isso é a variação de energia associada ao aumento da velocidade.

Passo 4

Calcular a variação da energia potencial gravitacional do sistema.\n
Fórmula: \Delta E_{\text{pot}} = m g \Delta z.\n
Substituindo:\n
\Delta E_{\text{pot}} = 11\cdot 8 \cdot 522 = 11\cdot 4176 = 45936\\ \mathrm{J} = 45{,}936\\ \mathrm{kJ}.\n
Explicação: a energia potencial cresce porque a altura aumentou; usei g=8\\ \mathrm{m/s^2} conforme dado.

Passo 5

Montar a conservação de energia (primeira lei) para sistema fechado e relacionar com o trabalho.\n
Para um sistema fechado e usando a convenção de sinais fornecida (trabalho recebido positivo), a primeira lei é:\n
\Delta E = Q + W,\n
onde \Delta E é a variação da energia total do sistema (soma de interna, cinética e potencial):\n
\Delta E = \Delta U + \Delta E_{\text{cin}} + \Delta E_{\text{pot}}.\n
Agora somamos os termos numéricos que já calculamos.

Passo 6

Calcular numericamente \Delta E e encontrar W.\n
Somando:\n
\Delta E = -286 + 16{,}896 + 45{,}936 = -223{,}168\\ \mathrm{kJ}.\n
Observação sobre os sinais: \Delta U é negativo (energia interna diminuiu), \Delta E_{\text{cin}} e \Delta E_{\text{pot}} são positivas.\n
Usando a primeira lei \Delta E = Q + W com Q=-319\\ \mathrm{kJ}, isolamos W:\n
W = \Delta E - Q.\n
Substituindo valores:\n
W = -223{,}168 - (-319) = -223{,}168 + 319 = 95{,}832\\ \mathrm{kJ}.\n
Interpretação final (sinal): W=+95{,}832\\ \mathrm{kJ} significa que, pelo sinal adotado, houve trabalho recebido pelo sistema (ou seja, trabalho líquido feito sobre o sistema) durante o processo.\n
Comentário prático: guarde esse resultado para a resposta final.

Passo 7

Agora vamos achar a variação de temperatura \Delta T. Estratégia e fórmulas úteis:\n
  • Para um gás ideal, a energia interna específica depende só da temperatura: \Delta u_{\text{esp}} = c_v\,\Delta T, onde c_v é o calor específico a volume constante (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). Aqui \Delta u_{\text{esp}} = -26\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
  • Para um processo politrópico P v^{n}=\text{const} (usando volumes específicos v), e para gás ideal com P v = R T, vale a relação (derivável):\n
q_{\text{esp}} = \left(c_v - \frac{R}{n-1}\right)\Delta T,\n
onde q_{\text{esp}}=Q/m é o calor por unidade de massa recebido pelo sistema durante o processo. Vou explicar rapidamente de onde vem essa expressão:\n
  • Partimos de \delta q = c_v dT + P\,dv (primeira lei por unidade de massa: \delta q = du + P\,dv e du=c_v dT).\n
  • Para um politrópico P v^{n}= const, combinando com P=R T / v e eliminando dv em função de dT obtemos a equação diferencial que leva a\n
\delta q = \left(c_v - \frac{R}{n-1}\right) dT,\n
e integrando ao longo do processo (assumindo c_v e n constantes) resulta na fórmula para q_{\text{esp}} acima.\n
Didática curta: essa fórmula dá um “calor efetivo por grau” para o processo politrópico; quando n\to\gamma ou outros valores ela reduz a fórmulas conhecidas.

Passo 8

Aplicar as duas equações que temos para c_v e \Delta T.\n
Equações disponíveis por unidade de massa:\n
  1. \Delta u_{\text{esp}} = c_v \Delta T = -26\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
  2. q_{\text{esp}} = \dfrac{Q}{m} = -\dfrac{319}{11} = -29\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
    Usando a expressão do passo anterior:\n
q_{\text{esp}} = \left(c_v - \frac{R}{n-1}\right)\Delta T.\n
Substituímos c_v \Delta T = \Delta u_{\text{esp}} = -26 na expressão de q_{\text{esp}}:\n
q_{\text{esp}} = \Delta u_{\text{esp}} - \frac{R}{n-1}\Delta T.\n
Agora colocamos os números conhecidos:\n
-29 = -26 - \frac{R}{n-1}\Delta T.\n
Isolando \Delta T:\n
-29 + 26 = -\frac{R}{n-1}\Delta T \quad\Rightarrow\quad -3 = -\frac{R}{n-1}\Delta T.\n
Multiplicando por -1:\n
3 = \frac{R}{n-1}\Delta T \quad\Rightarrow\quad \Delta T = 3\,\frac{n-1}{R}.

Passo 9

Calcular numericamente \Delta T.\n
Primeiro calcule n-1:\n
n-1 = -0{,}722 - 1 = -1{,}722.\n
Agora usar R=0{,}3\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}:\n
\Delta T = 3\cdot\frac{-1{,}722}{0{,}3} = \frac{-5{,}166}{0{,}3} = -17{,}22\\ \mathrm{K}.\n
Como um kelvin e um grau Celsius têm a mesma magnitude de variação, \Delta T=-17{,}22\\ ^\circ\mathrm{C}.\n
Interpretação: a temperatura do sistema diminuiu 17{,}22\\ ^\circ\mathrm{C} durante o processo (sinal negativo indica queda).

Passo 10

Verificação rápida (sanity check) — consistência dos resultados:\n
  • A variação interna por unidade de massa \Delta u_{\text{esp}} = c_v \Delta T c_v = \Delta u_{\text{esp}}/\Delta T = (-26)/(-17{,}22)\approx 1{,}51\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Isso leva a \gamma = 1 + R/c_v \approx 1{,}20, um valor plausível para um gás real/ideal leve (sem inconsistências óbvias).\n
  • O trabalho calculado W=+95{,}832\\ \mathrm{kJ} tem sinal positivo: trabalho líquido foi recebido pelo sistema, coerente com o fato de o sistema perder calor e também ter redução da energia interna, mas ganhar energia cinética e potencial — a soma levou a um W positivo por conta da equação de balanço energético.\n
    Tudo está consistente numericamente.

Resposta

W = +95{,}832\\ \mathrm{kJ}\n
\Delta T = -17{,}22\\ ^\circ\mathrm{C}

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