Encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em
. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
Nos exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em
. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
Nos exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em
Passo 1
O enunciado pede as direções em que
aumenta e diminui mais rapidamente em
, e as derivadas dessas funções nessas direções. Para isso vamos usar o gradiente
, pois ele aponta o sentido de maior crescimento e seu negativo o de maior decrescimento, e a derivada direcional nesses sentidos é
e
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Avaliaremos em
. Note que em
vale
,
e
. Logo,
Assim
.
Passo 4
A direção de máximo crescimento é o vetor unitário na direção de
:
A direção de maior decrescimento é o negativo:
Passo 5
A derivada direcional na direção de maior crescimento é
e na direção de maior decrescimento
Resposta
Direção de maior aumento:
com derivada
.
Direção de maior diminuição: com derivada
.
Direção de maior diminuição: