Encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
Nos exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
f(x, y)=x^2 y+e^x y sen y, P0(1,0)

Passo 1

O enunciado pede as direções em que
f(x,y)=x^2y+e^xysin y
aumenta e diminui mais rapidamente em P0=(1,0), e as derivadas dessas funções nessas direções. Para isso vamos usar o gradiente nabla f, pois ele aponta o sentido de maior crescimento e seu negativo o de maior decrescimento, e a derivada direcional nesses sentidos é |nabla f| e -|nabla f|.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = partialpartial xl(x^2y+e^xysin yr) =2xy + y,e^xysin y,
fy = partialpartial yl(x^2y+e^xysin yr) = x^2 + x,e^xysin y + e^xycos y

Passo 3

Avaliaremos em P0=(1,0). Note que em y=0 vale sin0=0, cos0=1 e e^xcdot0=1. Logo,
fx(1,0)=2cdot1cdot0 + 0cdot1cdot0 = 0,
fy(1,0)=1^2 + 1cdot1cdot0 + 1cdot1 = 1 + 0 + 1 = 2
Assim nabla f(1,0)=(0,2).

Passo 4

A direção de máximo crescimento é o vetor unitário na direção de nabla f(1,0):
umax =nabla f(1,0)|nabla f(1,0)| =(0,2)raiz0^2+2^2 =(0,1)
A direção de maior decrescimento é o negativo:
umin=-(0,1)=(0,-1)

Passo 5

A derivada direcional na direção de maior crescimento é
Dumaxf(1,0)=nabla f(1,0)cdotumax =|(0,2)|=2,
e na direção de maior decrescimento
Duminf(1,0)=nabla f(1,0)cdotumin =-|(0,2)|=-2

Resposta

Direção de maior aumento: (0,1) com derivada 2.
Direção de maior diminuição: (0,-1) com derivada -2.

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