Encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
Nos exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em P0. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
g(x, y, z)=x e^y+z^2, P0(1, ln 2, 12)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as direções de maior aumento e de maior diminuição da função
g(x,y,z)=x e^y+z^2
no ponto
P0l(1,ln2,tfrac12r)
e, em seguida, calcular as derivadas direcionais nessas direções.
Para isso, vamos usar o conceito de gradiente nabla g, cuja direção indica o sentido de maior crescimento, e a derivada direcional Dug=nabla gcdotu.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de g:
partial gpartial x=e^y, partial gpartial y=x,e^y, partial gpartial z=2z

Passo 3

Avaliamo-las em P0(1,ln2,tfrac12):
partial gpartial x(P0)=e^ln2=2, partial gpartial y(P0)=1cdot2=2, partial gpartial z(P0)=2cdottfrac12=1
Logo,
nabla g(P0)=(2,2,1)

Passo 4

A magnitude do gradiente em P0 é
|nabla g(P0)| =raiz2^2+2^2+1^2 =raiz9 =3

Passo 5

A direção de máximo aumento é o vetor unitário na direção de nabla g(P0), isto é,
umax=nabla g(P0)|nabla g(P0)| =l(tfrac23,tfrac23,tfrac13r)
A direção de máximo decréscimo é o oposto:
umin=-umax =l(-tfrac23,-tfrac23,-tfrac13r)

Passo 6

As derivadas direcionais nestas direções são:
para umax,
Dumaxg =nabla g(P0)cdotumax =|nabla g(P0)| =3,
e para umin,
Duming =nabla g(P0)cdotumin =-|nabla g(P0)| =-3

Resposta

Direção de maior aumento: (tfrac23,tfrac23,tfrac13), com derivada direcional igual a 3.
Direção de maior diminuição: (-tfrac23,-tfrac23,-tfrac13), com derivada direcional igual a -3.

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