Encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em
. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
Nos exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em
. Em seguida, encontre as derivadas das funções nessas direções.
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Nos exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aumentam e diminuem mais rapidamente em
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as direções de maior aumento e de maior diminuição da função
no ponto
e, em seguida, calcular as derivadas direcionais nessas direções.
Para isso, vamos usar o conceito de gradiente , cuja direção indica o sentido de maior crescimento, e a derivada direcional
.
Para isso, vamos usar o conceito de gradiente
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 3
Avaliamo-las em
:
Logo,
Passo 4
A magnitude do gradiente em
é
Passo 5
A direção de máximo aumento é o vetor unitário na direção de
, isto é,
A direção de máximo decréscimo é o oposto:
Passo 6
As derivadas direcionais nestas direções são:
para ,
para
e para
,
Resposta
Direção de maior aumento:
, com derivada direcional igual a
.
Direção de maior diminuição: , com derivada direcional igual a
.
Direção de maior diminuição: