Encontre a distância de a e o cosseno do ângulo entre eles nos seguintes casos: e boldsymbolv=(ll0 & 1 1 & 0) com o produto interno dado por lang<= A, Brang<==tr(B^t A), onde tr(A) é o traço da matriz A e B^t é a transposta da matriz B.
Passo 1
O enunciado pede a distância entre as matrizes u=1&10&0
e v=0&11&0
no espaço R^2times2 com produto interno lang<= A,Brang<==tr(B^tA),
além do cosseno do ângulo formado por u e v. Para isso precisamos calcular lang<= u,vrang<=, |u|, |v| e |u-v|.
Passo 2
Calcular o produto interno lang<= u,vrang<=.
Usamos
lang<= u,vrang<==trl(v^t,ur)
Como
v^t=0&11&0,
temos
v^t,u =0&11&0 1&10&0 =0&01&1,
então
lang<= u,vrang<= =tr!0&01&1 =0+1=1
Passo 3
Calcular as normas |u| e |v|.
Primeiro
|u|^2=lang<= u,urang<= =tr(u^t,u)
Como
u^t=1&01&0, u^t,u =1&01&0 1&10&0 =1&11&1,
temos
|u|^2 =tr1&11&1 =1+1=2,
logo |u|=raiz2.
De modo análogo para v:
v^t,v =0&11&0 0&11&0 =1&00&1,
|v|^2=tr(I)=2, |v|=raiz2
Passo 4
Calcular o cosseno do ângulo theta entre u e v.
Pela definição,