Encontre a distância de boldsymbolu a boldsymbolv e o cosseno do ângulo entre eles nos seguintes casos:
boldsymbolu=(ll1 & 1 0 & 0) e boldsymbolv=(ll0 & 1 1 & 0) com o produto interno dado por lang<= A, Brang<==tr(B^t A), onde tr(A) é o traço da matriz A e B^t é a transposta da matriz B.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as matrizes
u=1&10&0
e
v=0&11&0
no espaço R^2times2 com produto interno
lang<= A,Brang<==tr(B^tA),
além do cosseno do ângulo formado por u e v. Para isso precisamos calcular lang<= u,vrang<=, |u|, |v| e |u-v|.

Passo 2

Calcular o produto interno lang<= u,vrang<=.
Usamos
lang<= u,vrang<==trl(v^t,ur)
Como
v^t=0&11&0,
temos
v^t,u =0&11&0 1&10&0 =0&01&1,
então
lang<= u,vrang<= =tr!0&01&1 =0+1=1

Passo 3

Calcular as normas |u| e |v|.
Primeiro
|u|^2=lang<= u,urang<= =tr(u^t,u)
Como
u^t=1&01&0, u^t,u =1&01&0 1&10&0 =1&11&1,
temos
|u|^2 =tr1&11&1 =1+1=2,
logo |u|=raiz2.
De modo análogo para v:
v^t,v =0&11&0 0&11&0 =1&00&1,
|v|^2=tr(I)=2, |v|=raiz2

Passo 4

Calcular o cosseno do ângulo theta entre u e v.
Pela definição,
costheta =lang<= u,vrang<=|u|;|v| =1raiz2,raiz2 =12

Passo 5

Calcular a distância |u-v|.
Primeiro obtenha u-v:
u-v =1&10&0 - 0&11&0 =1&0-1&0
Então
|u-v|^2 =lang<= u-v,u-vrang<= =trl((u-v)^t(u-v)r)
Note que
(u-v)^t =1&-10&0, (u-v)^t(u-v) =2&00&0,
logo
|u-v|^2 =tr2&00&0 =2,
de onde
|u-v|=raiz2.

Resposta

Distância: raiz2
costheta = tfrac12

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