(UFPR) Considere as matrizes A=[cccx & y & z z & y & x y & z & x], B=[ccx+y & x+z z-y & z-x] e C=[cc4 & 6 2 & 4]. Sabendo que a matriz B é igual a matriz C, calcule o determinante da matriz A.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=x & y & z[0.3em]z & y & x[0.3em]y & z & x,
B=x+y & x+z[0.3em]z-y & z-x e
C=4 & 6[0.3em]2 & 4.
Como B=C, primeiro vamos achar x,y,z resolvendo o sistema que iguala as entradas de B às de C, depois vamos usar esses valores para calcular det(A).]

Passo 2

Igualando as entradas correspondentes de B e C obtemos o sistema
x + y = 4, x + z = 6, z - y = 2, z - x = 4

Passo 3

Da equação z - x = 4 vem z = x + 4. Substituindo em x + z = 6
x + (x + 4) = 6 Longrightarrow 2x + 4 = 6 Longrightarrow x = 1
Então z = 1 + 4 = 5. Finalmente, de x + y = 4 segue
1 + y = 4 Longrightarrow y = 3
Logo (x,y,z) = (1,3,5), e checa-se que z - y = 5 - 3 = 2 satisfaz a última equação.

Passo 4

Com x=1, y=3, z=5, a matriz A fica
A = 1 & 3 & 5 5 & 3 & 1 3 & 5 & 1
Para calcular det(A) usamos a regra de Sarrus ou desenvolvimento por co-fatores. Pelas co-fatores na primeira linha:
det(A) =1cdotdet3&15&1 -3cdotdet5&13&1 +5cdotdet5&33&5
Calculando cada 2times 2:
det3&15&1=3cdot1-5cdot1=-2, det5&13&1=5cdot1-3cdot1=2, det5&33&5=5cdot5-3cdot3=16
Assim
det(A) =1cdot(-2)-3cdot2+5cdot16 =-2-6+80 =72

Resposta

O determinante de A é 72.

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