Encontre a distância de u a v e o cosseno do ângulo entre u e v nos seguintes casos:
u=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right), v=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{R}), com o produto definido em (1)(d).

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
u=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},
v=\begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}
no espaço M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno definido em (1)(d) por
\langle A,B\rangle =\mathrm{tr}(A^{\top}B)=\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}.
Precisamos usar as fórmulas
\|w\|=\sqrt{\langle w,w\rangle},\quad d(u,v)=\|u-v\|,\quad \cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|}.
]

Passo 2

Calcular o produto interno \langle u,v\rangle somando produto das entradas correspondentes:
\langle u,v\rangle =1\cdot0 \;+\;1\cdot1\;+\;0\cdot1\;+\;0\cdot0 =1.

Passo 3

Calcular as normas de u e de v:
\|u\| =\sqrt{\langle u,u\rangle} =\sqrt{1^2+1^2+0^2+0^2} =\sqrt{2}, \qquad \|v\| =\sqrt{\langle v,v\rangle} =\sqrt{0^2+1^2+1^2+0^2} =\sqrt{2}.

Passo 4

Calcular a distância d(u,v)=\|u-v\|. Primeiro u-v=\begin{pmatrix}1 & 0\\[-3pt]-1 & 0\end{pmatrix},
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\|u-v\| =\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2+0^2} =\sqrt{2}.
]

Passo 5

Calcular o cosseno do ângulo:
\cos\theta =\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\;\|v\|} =\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{2}} =\frac{1}{2}.

Resposta

A distância é \sqrt{2} e o cosseno do ângulo é \tfrac12.

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