3 ( 2.0 pontos).Determine
O ponto da reta de equacès paraméticas
x=2+3 t, \quad y=-4 t \quad z=-5+t
que intersecta o plano de equaçäo cujo o vetor normal é \eta=(4,5,-2) e passa pe (1,2,-2).

Passo 1

O enunciado nos dá a reta em forma paramétrica
x = 2 + 3t,\quad y = -4t,\quad z = -5 + t
e um plano cujo vetor normal é \eta = (4,5,-2) e que passa pelo ponto P_0=(1,2,-2).
Vamos usar a equação cartesiana do plano e impor que o ponto genérico da reta satisfaça essa equação.

Passo 2

A equação de um plano de vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) que passa por P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.
Aqui \mathbf{n}=(4,5,-2) e P_0=(1,2,-2), logo a equação do plano é
4(x - 1) + 5(y - 2) - 2\bigl(z + 2\bigr) = 0.

Passo 3

Substituímos na equação do plano as coordenadas paramétricas da reta:
x = 2 + 3t,\quad y = -4t,\quad z = -5 + t.
Assim,
4\bigl((2+3t)-1\bigr) + 5\bigl((-4t)-2\bigr) - 2\bigl((\\ -5+t)+2\bigr) = 0.

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
4(1+3t) = 4 + 12t,
5(-4t - 2) = -20t - 10,
-2(-5 + t + 2) = -2(-3 + t) = 6 - 2t.
Somando tudo dá
(4 + 12t) + (-20t - 10) + (6 - 2t) = 0 \;\Longrightarrow\; 4 - 10 + 6 + (12t - 20t - 2t) = 0 \;\Longrightarrow\; 0 - 10t = 0 \;\Longrightarrow\; t = 0.

Passo 5

Com t=0, o ponto da reta é
x = 2 + 3\cdot 0 = 2,\quad y = -4\cdot 0 = 0,\quad z = -5 + 0 = -5.

Resposta

O ponto de interseção é (2,0,-5).

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