Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a a seu centro.

Passo 1

A questão pede a distância média de um ponto sorteado uniformemente no interior de uma bola de raio a até o seu centro. O conteúdo envolve valor esperado de variável contínua em 3D, e vamos usar coordenadas esféricas para obter a densidade radial de probabilidade.

Passo 2

Para encontrar a densidade de probabilidade de o ponto estar a uma distância r do centro, consideramos uma casca esférica de raio r e espessura dr. O volume dessa casca é
dV = 4pi r^2 ,dr
e o volume total da bola é
Vbola = 4pi a^33
Como a distribuição é uniforme, a probabilidade de cair na casca entre r e r+dr é
dP = dVVbola = 4pi r^2,dr4pi a^3/3 = 3r^2a^3,dr
Logo, a densidade de probabilidade de R é fR(r)=3r^2/a^3 para 0<= r<= a.

Passo 3

O valor esperado da distância R é dado por
E[R] = integral0^a r,fR(r),dr = integral0^a r cdot 3r^2a^3 ,dr
Carregando a constante para fora da integral:
E[R] = 3a^3 integral0^a r^3 ,dr = 3a^3 cdot a^44 = 3a4

Resposta

3a4

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