Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio
a seu centro.
Passo 1
A questão pede a distância média de um ponto sorteado uniformemente no interior de uma bola de raio
até o seu centro. O conteúdo envolve valor esperado de variável contínua em 3D, e vamos usar coordenadas esféricas para obter a densidade radial de probabilidade.
Passo 2
Para encontrar a densidade de probabilidade de o ponto estar a uma distância
do centro, consideramos uma casca esférica de raio
e espessura
. O volume dessa casca é
e o volume total da bola é
Como a distribuição é uniforme, a probabilidade de cair na casca entre
e
é
Logo, a densidade de probabilidade de
é
para
.
Passo 3
O valor esperado da distância
é dado por
Carregando a constante para fora da integral: