Um cilindro sólido circular direito é delimitado pelo cilindro r=a e pelos planos z=0 e z=h, h>O. Encontre o centro de massa e o momento de inércia e o raio de giração em torno do eixo z se a densidade é de.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro de raio a e altura h com densidade de. Precisamos achar o centro de massa (pela fórmula zrm cm=(1/M)integral z,de), o momento de inércia em torno do eixo z ( Iz=integral r^2,de) e o raio de giração kz=raizIz/M.

Passo 2

Calculamos a massa total M. Em coordenadas cilíndricas:
M=integral0^2piintegral0^aintegral0^h (z+1),r,dz,dr,dtheta
Integrando em z e r:
M =2piintegral0^a r,dr integral0^h (z+1),dz =2pia^22l(h^22+hr)=pi a^2l(h^22+hr)

Passo 3

Agora o numerador para zrm cm:
Nz=integral0^2piintegral0^aintegral0^h z,(z+1),r,dz,dr,dtheta =2pia^22l(h^33+h^22r)=pi a^2l(h^33+h^22r)
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zrm cm=NzM=h^33+h^22h^22+h=h(2h+3)3(h+2)

Passo 4

Calculamos o momento de inércia em torno de z:
Iz=integral0^2piintegral0^aintegral0^h r^2,(z+1),r,dz,dr,dtheta =2piintegral0^a r^3,drintegral0^h(z+1),dz,
de onde
Iz=2pia^44l(h^22+hr)=pi a^42l(h^22+hr)=pi a^4(h^2+2h)4

Passo 5

Por fim o raio de giração em torno de z é
kz=raizIzM=raizpi a^4(h^2+2h)4pi a^2(h^22+h)=araiz2

Resposta

Centro de massa: (0,0,tfrach(2h+3)3(h+2))
Momento de inércia em torno de z: Iz=tfracpi a^4(h^2+2h)4
Raio de giração: kz=tfracaraiz2.

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