Encontre a distância entre os planos π1 e π2
π1: x+5 y-5 z+1=0 e π2:(1,-2,2)+α(1,0,-1)+β(3,-4,-1)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre dois planos em R^3:
pi1:x+5y-5z+1=0 pi2:,(x,y,z)=(1,-2,2)+alpha(1,0,-1)+beta(3,-4,-1)
Conteúdo: geometria analítica no espaço, planos. Vamos obter a equação cartesiana de pi2, comparar vetores normais para ver se são paralelos e, se for o caso, aplicar a fórmula da distância; caso contrário, concluir que a distância é zero.

Passo 2

Para achar o vetor normal de pi2, tomamos o produto vetorial dos vetores-direção
d1=(1,0,-1), d2=(3,-4,-1)
Calculamos
n2=d1times d2 = i&j&k 1&0&-1 3&-4&-1 =-4,i-2,j-4,k
que, multiplicando por -tfrac12, fica
n2=(2,1,2)

Passo 3

O vetor normal de pi1 é n1=(1,5,-5). Para que os planos fossem paralelos, teríamos n1paral<=ln2, i.e.\ n1=t,n2 para algum t. Mas
(1,5,-5)neq t,(2,1,2) forall tinR,
logo os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam. Quando dois planos em R^3 se intersectam, a distância mínima entre eles é zero.

Resposta

A distância entre pi1 e pi2 é 0.

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