Encontre a distância do ponto à reta para:
P0=(1,-1,4) e reta r : x-15=y-42=z-2-1 para todo t in R

Passo 1

O enunciado pede a distância de um ponto P0=(1,-1,4) a uma reta r no espaço, cuja equação simétrica é
x-15=y-42=z-2-1
O conteúdo aqui é a fórmula da distância ponto-reta em R^3, que envolve produto vetorial.

Passo 2

Transformamos a reta em forma paramétrica. Se
x-15=y-42=z-2-1=t,
então um ponto na reta é
P=(1,4,2)(para t=0)
e o vetor diretor é
v=(5,2,-1)

Passo 3

Definimos o vetor que liga P a P0:
w = P0 - P = (1-1,,-1-4,,4-2) = (0,-5,2)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial para achar a área do paralelogramo formado por w e v:
w times v = i & j & k 0 & -5 & 2 5 & 2 & -1 = (1,,10,,25)
Logo,
lvert wtimes vrvert = raiz1^2 + 10^2 + 25^2 = raiz726

Passo 5

A norma de v é
lvert vrvert = raiz5^2+2^2+(-1)^2 = raiz30
Portanto, a distância é
d = lvert wtimes vrvertlvert vrvert = raiz726raiz30 = 11raiz5 = 11raiz55

Resposta

A distância do ponto P0 à reta r é 11raiz55.

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