Determinar a posição relativa entre as retas (são paralelas, concorrentes/intersectantes ou reversas).
Caso sejam reversas, calcular a distância entre elas.
Informações relevantes fornecidas:
Um ponto em r é A=(1,2,1).
Um vetor diretor de r é \vec{v}_r=(1,-1,2).
Um ponto em s é B=(1,0,-1).
Um vetor diretor de s é \vec{v}_s=(2,1,-1).
Passo 2
Teste de paralelismo (explicação didática breve):
Duas retas são paralelas se e somente se os seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe \lambda tal que \vec{v}_r=\lambda\vec{v}_s.
Para verificar isso, comparo componentes dos vetores \vec{v}_r=(1,-1,2) e \vec{v}_s=(2,1,-1).
Verificação:
Se existisse \lambda com (1,-1,2)=\lambda(2,1,-1), então das componentes obteríamos \lambda=\dfrac{1}{2} pela primeira componente, \lambda=-1 pela segunda, e \lambda=-2 pela terceira. Esses valores são diferentes, logo não existe \lambda que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente.
Conclusão do passo: os vetores diretores não são proporcionais, portanto as retas não são paralelas.
Passo 3
Teste de interseção (passo a passo):
Para que as retas se cortem, existem parâmetros t\) e \(u\) tais que
\[(1,2,1)+t(1,-1,2)=(1,0,-1)+u(2,1,-1).
Da primeira equação vem t=2u\].
- Substituo na segunda: \(2-(2u)=u\Rightarrow 2=3u\Rightarrow u=\dfrac{2}{3} e então t=2u=\dfrac{4}{3}.
- Verifico a terceira equação com esses valores: lado esquerdo 1+2t=1+2\cdot\dfrac{4}{3}=1+\dfrac{8}{3}=\dfrac{11}{3}. Lado direito -1-u=-1-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{5}{3}. Como \dfrac{11}{3}\neq -\dfrac{5}{3}, o sistema é inconsistente.
Conclusão do passo: não existem t,u que satisfaçam todas as três equações simultaneamente, logo as retas não se intersectam.]
Passo 4
Interpretação das conclusões:
As retas não são paralelas (Passo 2) e não se intersectam (Passo 3). Portanto são retas reversas (skew), isto é, não coplanares, sem ponto comum e com direções distintas.
Passo 5
Fórmula da distância entre retas reversas (explicação didática):
A menor distância entre duas retas reversas é o comprimento do segmento perpendicular a ambas as retas que liga uma reta à outra.
Seja \vec{d}=\vec{B}-\vec{A} (vetor de um ponto de r a um ponto de s). Seja \vec{v}_r e \vec{v}_s os vetores diretores. Então a distância D entre as retas é dada por
Justificativa intuitiva: \vec{v}_r\times\vec{v}_s é um vetor perpendicular a ambos os diretores; o produto escalar \vec{d}\cdot(\vec{v}_r\times\vec{v}_s) é o volume do paralelepípedo formado por \vec{d},\vec{v}_r,\vec{v}_s; dividindo esse volume pela área da base \|\vec{v}_r\times\vec{v}_s\| dá a altura relativa àquela base, que é exatamente a distância entre as retas.
Passo 6
Calcular \vec{v}_r\times\vec{v}_s (passo a passo do produto vetorial):