Determine a posiçio relativa entre as retas
r ; \vec{r}=(1,2,1)+t(1,-1,2), \quad s: \vec{r}=(1,0,-1)+u(2,1,-1)
e, caso sejam reversas, calcule a distância entre clas.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma vetorial:
r:\\ \vec{r}=(1,2,1)+t(1,-1,2),\qquad s:\\ \vec{r}=(1,0,-1)+u(2,1,-1).
Perguntas que o problema faz:
  • Determinar a posição relativa entre as retas (são paralelas, concorrentes/intersectantes ou reversas).
  • Caso sejam reversas, calcular a distância entre elas.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um ponto em r é A=(1,2,1).
  • Um vetor diretor de r é \vec{v}_r=(1,-1,2).
  • Um ponto em s é B=(1,0,-1).
  • Um vetor diretor de s é \vec{v}_s=(2,1,-1).

Passo 2

Teste de paralelismo (explicação didática breve):
  • Duas retas são paralelas se e somente se os seus vetores diretores são proporcionais, isto é, existe \lambda tal que \vec{v}_r=\lambda\vec{v}_s.
  • Para verificar isso, comparo componentes dos vetores \vec{v}_r=(1,-1,2) e \vec{v}_s=(2,1,-1).
Verificação:
  • Se existisse \lambda com (1,-1,2)=\lambda(2,1,-1), então das componentes obteríamos \lambda=\dfrac{1}{2} pela primeira componente, \lambda=-1 pela segunda, e \lambda=-2 pela terceira. Esses valores são diferentes, logo não existe \lambda que satisfaça todas as três igualdades simultaneamente.
Conclusão do passo: os vetores diretores não são proporcionais, portanto as retas não são paralelas.

Passo 3

Teste de interseção (passo a passo):
  • Para que as retas se cortem, existem parâmetros t\) e \(u\) tais que \[(1,2,1)+t(1,-1,2)=(1,0,-1)+u(2,1,-1).
  • Escrevo o sistema por componentes:
\begin{cases} 1+t = 1+2u,\\[4pt] 2-t = 0+u,\\[4pt] 1+2t = -1 - u. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da primeira equação vem t=2u\]. - Substituo na segunda: \(2-(2u)=u\Rightarrow 2=3u\Rightarrow u=\dfrac{2}{3} e então t=2u=\dfrac{4}{3}.
    - Verifico a terceira equação com esses valores: lado esquerdo 1+2t=1+2\cdot\dfrac{4}{3}=1+\dfrac{8}{3}=\dfrac{11}{3}. Lado direito -1-u=-1-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{5}{3}. Como \dfrac{11}{3}\neq -\dfrac{5}{3}, o sistema é inconsistente.
Conclusão do passo: não existem t,u que satisfaçam todas as três equações simultaneamente, logo as retas não se intersectam.]

Passo 4

Interpretação das conclusões:
  • As retas não são paralelas (Passo 2) e não se intersectam (Passo 3). Portanto são retas reversas (skew), isto é, não coplanares, sem ponto comum e com direções distintas.

Passo 5

Fórmula da distância entre retas reversas (explicação didática):
  • A menor distância entre duas retas reversas é o comprimento do segmento perpendicular a ambas as retas que liga uma reta à outra.
  • Seja \vec{d}=\vec{B}-\vec{A} (vetor de um ponto de r a um ponto de s). Seja \vec{v}_r e \vec{v}_s os vetores diretores. Então a distância D entre as retas é dada por
D=\frac{\left|\,\vec{d}\cdot(\vec{v}_r\times\vec{v}_s)\,\right|}{\|\vec{v}_r\times\vec{v}_s\|}.
  • Justificativa intuitiva: \vec{v}_r\times\vec{v}_s é um vetor perpendicular a ambos os diretores; o produto escalar \vec{d}\cdot(\vec{v}_r\times\vec{v}_s) é o volume do paralelepípedo formado por \vec{d},\vec{v}_r,\vec{v}_s; dividindo esse volume pela área da base \|\vec{v}_r\times\vec{v}_s\| dá a altura relativa àquela base, que é exatamente a distância entre as retas.

Passo 6

Calcular \vec{v}_r\times\vec{v}_s (passo a passo do produto vetorial):
  • \vec{v}_r=(1,-1,2), \vec{v}_s=(2,1,-1).
  • O produto vetorial por componentes:
\vec{v}_r\times\vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}
  • Calculando componentes:
\vec{v}_r\times\vec{v}_s = (-1\cdot -1 - 2\cdot 1,\; -\big(1\cdot -1 - 2\cdot 2\big),\; 1\cdot 1 - (-1)\cdot 2).
  • Simplificando:
\vec{v}_r\times\vec{v}_s = (-1,\;5,\;3).]

Passo 7

Calcular \vec{d}=\vec{B}-\vec{A}, o produto escalar e a norma:
  • \vec{A}=(1,2,1), \vec{B}=(1,0,-1) então
\vec{d}=\vec{B}-\vec{A}=(0,-2,-2).
  • Produto escalar:
\vec{d}\cdot(\vec{v}_r\times\vec{v}_s) = (0,-2,-2)\cdot(-1,5,3) = 0\cdot(-1)+(-2)\cdot5+(-2)\cdot3 = -10-6=-16.
  • Módulo (valor absoluto) do produto escalar: |-16|=16.
  • Norma do vetor cruzado:
\|\vec{v}_r\times\vec{v}_s\|=\sqrt{(-1)^2+5^2+3^2}=\sqrt{1+25+9}=\sqrt{35}.

Passo 8

Aplicar a fórmula da distância e dar resultado numérico:
  • Pela fórmula,
D=\frac{16}{\sqrt{35}}.
  • Aproximação numérica (usar vírgula como separador decimal):
D\approx 2,703.

Resposta

As retas são reversas (não paralelas e sem interseção).
D=\dfrac{16}{\sqrt{35}}\approx 2,703

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