Encontre a distância do ponto ao plano para:
P=(-1,-1,3) e pi é o plano que passa por A=(0,1,2), B=(-3,0,1) e C= (0, 0, 2)

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(-1,-1,3) ao plano pi que passa por A=(0,1,2), B=(-3,0,1) e C=(0,0,2). Vamos usar geometria analítica espacial: obter a equação de pi a partir de um vetor normal (produto vetorial) e depois aplicar a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Calculamos dois vetores contidos em pi:
AB = B - A = (-3-0,;0-1,;1-2) = (-3,,-1,,-1),
AC = C - A = (0-0,;0-1,;2-2) = (0,,-1,,0)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado por
n = AB times AC = i & j & k -3 & -1 & -1 0 & -1 & 0 = (-1,,0,,3)
Podemos usar sem perda de generalidade n=(1,0,-3), multiplicando por -1.

Passo 4

A equação geral do plano pi é
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow 1,(x-0)+0,(y-1)-3,(z-2)=0,
ou seja
x - 3z + 6 = 0

Passo 5

A distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano ax + by + cz + d = 0 é
d = l|a x0 + b y0 + c z0 + dr|raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 6

No nosso caso a=1, b=0, c=-3, d=6 e (x0,y0,z0)=(-1,-1,3). Então
a x0 + b y0 + c z0 + d = (-1) + 0 + (-3)cdot3 + 6 = -1 -9 +6 = -4,
raiza^2+b^2+c^2 = raiz1^2+0^2+(-3)^2 = raiz10,
logo
distância = |-4|raiz10 = 4raiz10 = 2raiz105 â

Resposta

A distância de P ao plano pi é 2raiz105.

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