Calcule a integral trocando a ordem de integração.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
pois, em vez de integrar primeiro em x e depois em y, vamos inverter essa ordem. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos precisar entender a região de integração.
Passo 2
A região D do plano é definida por
Para trocar a ordem, desenhamos D e observamos quais valores x e y assumem nessa região.
Passo 3
Trocando a ordem de integração, vemos que x varia de 0 até
e, para cada x, y varia de 0 até x. Logo, podemos reescrever a integral como
Passo 4
Calculamos agora a integral interna em y. Como
não depende de y, temos
Passo 5
A integral fica então
Para resolvê-la, fazemos a substituição
, de modo que
ou
.
Passo 6
Em termos de
, a integral é
Avaliando de 0 a
resulta em