Calcule a integral trocando a ordem de integração.
integral0^raiz7 integraly^raiz7 cos (x^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^raiz7 integraly^raiz7 cosl(x^2r),dx,dy
pois, em vez de integrar primeiro em x e depois em y, vamos inverter essa ordem. O conteúdo é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos precisar entender a região de integração.

Passo 2

A região D do plano é definida por
0 <= y <= raiz7, y <= x <= raiz7
Para trocar a ordem, desenhamos D e observamos quais valores x e y assumem nessa região.

Passo 3

Trocando a ordem de integração, vemos que x varia de 0 até raiz7 e, para cada x, y varia de 0 até x. Logo, podemos reescrever a integral como
integral0^raiz7integral0^x cosl(x^2r),dy,dx

Passo 4

Calculamos agora a integral interna em y. Como cos(x^2) não depende de y, temos
integral0^x cosl(x^2r),dy = cosl(x^2r)integral0^xdy = x,cosl(x^2r)

Passo 5

A integral fica então
integral0^raiz7 xcosl(x^2r),dx
Para resolvê-la, fazemos a substituição u = x^2, de modo que du = 2x,dx ou x,dx = tfracdu2.

Passo 6

Em termos de u, a integral é
integral xcosl(x^2r),dx = 12integral cos(u),du = 12sin(u) + C
Avaliando de 0 a raiz7 resulta em
12l[sin(7)-sin(0)r] = sin(7)2

Resposta

sin(7)2

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