Encontre a equação do plano que passa pelos pontos
P1=(2,3,1), P2=(5,4,3), P3=(3,4,4)

Passo 1

Beleza, vamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos $ P_{1}=(2,3,1) $, $ P_{2}=(5,4,3) $ e $ P_{3}=(3,4,4) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente vetores no espaço e equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores $ \vec{P_{1}P_{2}} $ e $ \vec{P_{1}P_{3}} $.
P1P2
P1P3

Passo 3

Agora que temos os vetores $ \vec{P_{1}P_{2}} = (3, 1, 2) $ e $ \vec{P_{1}P_{3}} = (1, 1, 3) $, vamos encontrar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{n} = \vec{P_{1}P_{2}} \times \vec{P_{1}P_{3}} $.
n = P1P2 times P1P3
n = i & j & k 3 & 1 & 2 1 & 1 & 3 = i(1 cdot 3 - 2 cdot 1) - j(3 cdot 3 - 2 cdot 1) + k(3 cdot 1 - 1 cdot 1)
n = i(3 - 2) - j(9 - 2) + k(3 - 1) = i(1) - j(7) + k(2)

Passo 5

Agora temos o vetor normal $ \vec{n} = (1, -7, 2) $. A equação geral de um plano usando o vetor normal e um ponto $ P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $ é dada por:
n = (1, -7, 2)
onde $ \vec{n} = (a, b, c) $.

Passo 6

Vamos substituir os valores que temos na equação. Usando $ \vec{n} = (1, -7, 2) $ e $ P_{1} = (2, 3, 1) $:
n = (1, -7, 2)

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
x - 2 - 7y + 21 + 2z - 2 = 0
x - 7y + 2z + 17 = 0

Passo 8

Para chegar à forma mais comum da equação do plano, podemos reorganizar os termos:
x - 7y + 2z = -17

Resposta

A equação do plano que passa pelos pontos $ P_{1}=(2,3,1) $, $ P_{2}=(5,4,3) $ e $ P_{3}=(3,4,4) $ é:
P1=(2,3,1)

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