Encontre a equação do plano que passa pelos pontos
Passo 1
Beleza, vamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos $ P_{1}=(2,3,1) $, $ P_{2}=(5,4,3) $ e $ P_{3}=(3,4,4) $. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente vetores no espaço e equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores $ \vec{P_{1}P_{2}} $ e $ \vec{P_{1}P_{3}} $.
Passo 3
Agora que temos os vetores $ \vec{P_{1}P_{2}} = (3, 1, 2) $ e $ \vec{P_{1}P_{3}} = (1, 1, 3) $, vamos encontrar o vetor normal ao plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e pode ser encontrado pelo produto vetorial desses dois vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{n} = \vec{P_{1}P_{2}} \times \vec{P_{1}P_{3}} $.
Passo 5
Agora temos o vetor normal $ \vec{n} = (1, -7, 2) $. A equação geral de um plano usando o vetor normal e um ponto $ P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1}) $ é dada por:
onde $ \vec{n} = (a, b, c) $.
Passo 6
Vamos substituir os valores que temos na equação. Usando $ \vec{n} = (1, -7, 2) $ e $ P_{1} = (2, 3, 1) $:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Passo 8
Para chegar à forma mais comum da equação do plano, podemos reorganizar os termos:
Resposta
A equação do plano que passa pelos pontos $ P_{1}=(2,3,1) $, $ P_{2}=(5,4,3) $ e $ P_{3}=(3,4,4) $ é: