Encontre a distância do ponto P_{0} para a reta L
P_{0}=(-2,-1) e L:(x, y)=(-1,3)+t(-12,5), t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P_{0}=(-2,-1) até a reta
L:\;(x,y)=(-1,3)+t(-12,5),\quad t\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolve a fórmula da distância de um ponto a uma reta no plano, que em coordenadas usa o determinante (produto vetorial em 2D) entre o vetor direção da reta e o vetor que liga um ponto da reta ao ponto dado, tudo dividido pelo módulo do vetor direção.

Passo 2

Escolhemos um ponto P_{1} qualquer em L. Como a reta está em forma paramétrica, note que para t=0 temos
P_{1}=(-1,3).
O vetor direção de L é
\mathbf{v}=(-12,5).
O vetor que vai de P_{1} até P_{0} é
\overrightarrow{P_{1}P_{0}} = P_{0}-P_{1} = (-2,-1)-(-1,3) = (-1,-4).

Passo 3

Em 2D, o módulo do “produto vetorial” entre \mathbf{v} e \overrightarrow{P_{1}P_{0}} é o valor absoluto do determinante
\bigl|\det(\,\mathbf{v},\,\overrightarrow{P_{1}P_{0}})\bigr| = \bigl|(-12)\cdot(-4) - 5\cdot(-1)\bigr| = \bigl|48 + 5\bigr| = 53.

Passo 4

Calculamos o módulo de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{(-12)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância,
d = \frac{\bigl|\det(\mathbf{v},\,\overrightarrow{P_{1}P_{0}})\bigr|}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{53}{13}.

Resposta

\frac{53}{13}

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