Encontre a distância entre os pontos com coordenadas polares (4, π/3) e (8, 2π/3).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar a distância entre dois pontos que estão descritos em coordenadas polares. As coordenadas que a gente tem são (4, π/3) e (8, 2π/3). Para resolver isso, vamos usar a fórmula de distância entre dois pontos em coordenadas polares, que nos ajuda a calcular essa distância sem precisar converter para coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que usamos para calcular a distância entre dois pontos em coordenadas polares. Se tivermos dois pontos P1 = (r1, theta1) e P2 = (r2, theta2), a distância d entre eles é dada por:
d = raizr1^2 + r2^2 - 2 cdot r1 cdot r2 cdot cos(theta2 - theta1)
Essa fórmula vem do fato de que podemos aplicar o teorema de Pitágoras no contexto polar, levando em conta as diferenças angulares entre os pontos.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores que temos:
  • Para o primeiro ponto P1: r1 = 4 e theta1 = pi3
  • Para o segundo ponto P2: r2 = 8 e theta2 = 2pi3
Vamos substituir esses valores na fórmula que mencionamos.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
d = raiz4^2 + 8^2 - 2 cdot 4 cdot 8 cdot cos(2pi3 - pi3)
Vamos simplificar cada parte:
  • 4^2 = 16
  • 8^2 = 64
  • 2pi3 - pi3 = pi3
  • cos(pi3) = 12
Substituindo esses valores:
d = raiz16 + 64 - 2 cdot 4 cdot 8 cdot 12

Passo 5

Simplificando mais:
d = raiz16 + 64 - 2 cdot 4 cdot 8 cdot 12 = raiz80 - 32 = raiz48
E sabendo que raiz48 = raiz16 cdot 3 = 4raiz3.

Resposta

A distância entre os pontos é 4raiz3 unidades.

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