Encontre a distância entre as retas r1 e r2
r1: x-22=y+1-2=2-z4. e r2 : lx=-3+t y=t z=1-2 t para todo t in R

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas que não são paralelas nem concorrentes (retas “skew”) em R^3. O conteúdo envolvido é geometria analítica vetorial: para duas retas r1 e r2, a distância é
d = l| (P2 - P1)cdot (v1 times v2)r||v1 times v2|,
onde P1 e v1 são um ponto e o vetor direção de r1, e P2, v2 análogos para r2.

Passo 2

Escolhemos para r1 o parâmetro lambda em
x-22 ;=;y+1-2;=;2-z4=lambda,
de onde
P1=(2,-1,2)(para (lambda=0)), v1=(2,-2,-4)
Para r2, no parâmetro t,
P2=(-3,0,1)(para (t=0)), v2=(1,,1,,-2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial v1times v2:
v1 times v2 = i & j & k 2 & -2 & -4 1 & 1 & -2 = lang<= 8,,0,,4rang<=
O módulo é
|v1 times v2|=raiz8^2+0^2+4^2=raiz80=4raiz5

Passo 4

Formamos o vetor entre pontos
P2-P1 = (-3-2,;0+1,;1-2)=(-5,1,-1),
e calculamos o produto escalar com v1times v2:
(P2-P1)cdot(v1times v2) = (-5)cdot 8 + 1cdot 0 + (-1)cdot4 = -40 - 4 = -44
Tomando valor absoluto, l| -44r|=44.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância:
d = 444raiz5 = 11raiz5 Longrightarrow d = 11raiz55

Resposta

11raiz5 (ou tfrac11raiz55).

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