Encontre a distância entre as retas r1 e r2
r1: x+11=y-23=z-24. e r2 : lx=1-5 t y=2 t z=2-t para todo t in R

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas no espaço que não se intersectam (retas “aleatórias”). O conteúdo de geometria analítica nos dá a fórmula da distância entre retas ) e ):
onde ) e ) são um ponto e o vetor diretor de ), e ) e ) de ).

Passo 2

Vamos colocar cada reta em forma paramétrica e extrair ponto e vetor diretor.
Para
r1:x+11=y-23=z-24=t
temos
x=-1+t, y=2+3t, z=2+4t,
logo escolhemos
P1=(-1,2,2), v1=(1,3,4)
Para
r2: x=1-5s, y=2s, z=2-s
temos
P2=(1,0,2), v2=(-5,2,-1)

Passo 3

Calculamos o vetor que liga ) a ):

Passo 4

Agora o produto vetorial
v1times v2 =deti&j&k1&3&4-5&2&-1 =(,3cdot(-1)-4cdot2,;-,l(1cdot(-1)-4cdot(-5)r),,1cdot2-3cdot(-5),)
=(-11,,-19,,17)

Passo 5

O produto escalar entre P2-P1 e v1times v2 é
(P2-P1)cdot(v1times v2) =2cdot(-11)+(-2)cdot(-19)+0cdot17 =-22+38=16
E a norma de v1times v2 é
l|v1times v2r| =raiz(-11)^2+(-19)^2+17^2 =raiz121+361+289 =raiz771

Passo 6

Substituindo na fórmula da distância, temos
d =l|(P2-P1)cdot(v1times v2)r||v1times v2| =|16|raiz771 =16raiz771

Resposta

boxed;d=16raiz771;

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