Encontre a distância entre as retas r1 e r2
r1:lx=-2 t y=1+2 t z=3-4 t para todo t in R. e r2 : lx=2-t y=3 t z=1-4 t para todo t in R

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r1 e r2 em R^3. Quando duas retas são “não paralelas e não concorrentes” (isto é, são reversas), a fórmula da distância mínima entre elas é
d ;=;l|,(P2-P1)cdotl(v1times v2r)r|llVert v1times v2rrVert,
onde P1 e P2 são pontos quaisquer nas retas, e v1, v2 são os vetores diretores de r1 e r2.

Passo 2

Escrevemos r1 em forma vetorial
r1: ; (x,y,z) = (0,1,3) + t,(-2,2,-4)
Daí P1=(0,1,3) e v1=(-2,2,-4).

Passo 3

Escrevemos r2 em forma vetorial
r2: ; (x,y,z) = (2,0,1) + s,(-1,3,-4)
Daí P2=(2,0,1) e v2=(-1,3,-4).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
v1times v2 = i & j & k -2 & 2 & -4 -1 & 3 & -4 =(4,-4,-4)
Em seguida
llVert v1times v2rrVert =raiz4^2+(-4)^2+(-4)^2 =raiz48 =4raiz3

Passo 5

Formamos o vetor entre os pontos escolhidos
P2-P1=(2,0,1)-(0,1,3)=(2,-1,-2)

Passo 6

O numerador da fórmula é
l|(P2-P1)cdot(v1times v2)r| =l|(2,-1,-2)cdot(4,-4,-4)r| =|8+4+8| =20
Logo a distância é
d=204raiz3 =5raiz3 =5raiz33

Resposta

d=5raiz3=5raiz33

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