Se u+v+w=0,|u|=32,|v|=12,|w|=2, calcule u cdot v+v cdot w+w cdot u.

Passo 1

O enunciado dá três vetores u,v,w tais que
u+v+w=0
e os módulos |u|=tfrac32, |v|=tfrac12, |w|=2.
Queremos calcular
ucdotv + vcdotw + wcdotu
O conteúdo usado será a propriedade do produto escalar em soma de vetores:
(a+b+c)cdot(a+b+c).

Passo 2

Aplicamos a identidade
(u+v+w)cdot(u+v+w) =|u|^2+|v|^2+|w|^2 +2l(ucdotv+vcdotw+wcdotur)
Como u+v+w=0, o lado esquerdo fica zero. Logo, denotando
S=ucdotv+vcdotw+wcdotu,
temos
0 = |u|^2+|v|^2+|w|^2 + 2S ;;Longrightarrow;; S = -|u|^2+|v|^2+|w|^22

Passo 3

Calculamos os quadrados dos módulos:
|u|^2 = l(tfrac32r)^2 = tfrac94, |v|^2 = l(tfrac12r)^2 = tfrac14, |w|^2 = 2^2 = 4 = tfrac164
Somando,
|u|^2+|v|^2+|w|^2 =9+1+164=264=132

Passo 4

Substituindo em S, obtém-se
S = -tfrac1322 = -134

Resposta

-134

Exercícios relacionados