Encontre as distâncias:
Do plano \pi_{1}: x+5 y-5 z+3=0 ao plano \pi_{2}:(1,-2,2)+\alpha(1,0,-1)+\beta(-2,-3,-1)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado o plano \pi_{1} por equação
\pi_{1}: x+5y-5z+3=0.
  • Dado o plano \pi_{2} em forma paramétrica através de um ponto e dois vetores diretores:
\pi_{2}: (1,-2,2)+\alpha(1,0,-1)+\beta(-2,-3,-1),
onde (1,-2,2) é um ponto do plano e (1,0,-1), (-2,-3,-1) são vetores diretores.
O que se pede: encontrar a distância do plano \pi_{1} ao plano \pi_{2}.

Passo 2

Identificar os vetores normais de cada plano (pois a relação entre planos e sua distância depende dos seus normais).
  • Para \pi_{1}: a equação está na forma ax+by+cz+d=0. Os coeficientes a,b,c formam o vetor normal. Logo
\text{vetor normal de }\pi_{1}:\quad \mathbf{n}_{1}=(1,5,-5).
Explicação curta: o vetor normal é o vetor perpendicular ao plano; na equação ax+by+cz+d=0 o vetor (a,b,c) é perpendicular a qualquer vetor tangente ao plano.

Passo 3

Encontrar o vetor normal de \pi_{2}, que não está dado diretamente, mas pode ser obtido fazendo o produto vetorial (cross product) entre os dois vetores diretores.
  • Vetores diretores de \pi_{2}: \mathbf{v}_{1}=(1,0,-1) e \mathbf{v}_{2}=(-2,-3,-1).
O produto vetorial \mathbf{n}_{2}=\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2} dá um vetor perpendicular ao plano. Calculemos usando a regra de determinante (expansão por cofatores):
\mathbf{n}_{2}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & -1 \\\\ -2 & -3 & -1 \end{vmatrix}
Computando coordenada a coordenada:
  • componente x (coeficiente de \mathbf{i}):
0\cdot(-1)-(-1)\cdot(-3)=0-3=-3.
  • componente y (coeficiente de \mathbf{j}, com sinal trocado):
-(1\cdot(-1)-(-1)\cdot(-2))=-( -1 - 2)= -(-3)=3.
  • componente z (coeficiente de \mathbf{k}):
1\cdot(-3)-0\cdot(-2)=-3-0=-3.
Logo
\mathbf{n}_{2}=(-3,3,-3).
Podemos simplificar por -3 e usar o vetor proporcional
\mathbf{n}_{2}=(1,-1,1),
o que é mais simples para cálculos subsequentes.
Breve nota didática: o produto vetorial dá um vetor perpendicular aos dois vetores dados; esse vetor é normal ao plano gerado por eles.

Passo 4

Escrever a equação cartesiana de \pi_{2} usando \mathbf{n}_{2} e o ponto dado (1,-2,2).
A equação geral usando normal \mathbf{n}_{2}=(a,b,c) e ponto P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) é
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Aqui a=1, b=-1, c=1 e P_{0}=(1,-2,2). Então
1(x-1)-1(y+2)+1(z-2)=0.
Simplificando,
x-1 -y-2 + z-2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y + z -5 = 0.
Portanto a equação cartesiana de \pi_{2} é
\pi_{2}: x - y + z -5 = 0.

Passo 5

Verificar se os planos são paralelos (caso em que a distância é dada por uma fórmula) ou não (caso em que a distância é zero).
Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são proporcionais.
Temos
\mathbf{n}_{1}=(1,5,-5),\qquad \mathbf{n}_{2}=(1,-1,1).
Procuramos \lambda tal que (1,5,-5)=\lambda(1,-1,1). Pela primeira coordenada \lambda=1. Pela segunda coordenada isso exigiria 5=\lambda(-1)=-1, o que é falso. Portanto não existe \lambda que torne os normais proporcionais.
Conclusão: os planos não são paralelos.

Passo 6

Concluir sobre a distância entre os planos.
Se dois planos não são paralelos, eles se intersectam em uma reta, então a menor distância entre eles é zero (existe ponto comum, logo distância mínima é zero).
Portanto, como \pi_{1} e \pi_{2} não são paralelos, a distância entre os planos é 0.
Observação útil (para quando os planos forem paralelos): se fossem paralelos com equações
ax+by+cz+d_{1}=0\quad\text{e}\quad ax+by+cz+d_{2}=0,
a fórmula da distância entre eles seria
\text{distância}=\frac{|d_{2}-d_{1}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}.â
Isso é bom decorar para a prova — mas aqui não é necessário porque há interseção.

Resposta

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