Encontre as distâncias:
Do plano \pi_{1}: x+5 y-5 z+3=0 ao plano \pi_{2}:(1,-2,2)+\alpha(1,0,-1)+\beta(-2,-3,-1)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Dado o plano \pi_{1} por equação
\pi_{1}: x+5y-5z+3=0.
Dado o plano \pi_{2} em forma paramétrica através de um ponto e dois vetores diretores:
\pi_{2}: (1,-2,2)+\alpha(1,0,-1)+\beta(-2,-3,-1),
onde (1,-2,2) é um ponto do plano e (1,0,-1), (-2,-3,-1) são vetores diretores.
O que se pede: encontrar a distância do plano \pi_{1} ao plano \pi_{2}.
Passo 2
Identificar os vetores normais de cada plano (pois a relação entre planos e sua distância depende dos seus normais).
Para \pi_{1}: a equação está na forma ax+by+cz+d=0. Os coeficientes a,b,c formam o vetor normal. Logo
\text{vetor normal de }\pi_{1}:\quad \mathbf{n}_{1}=(1,5,-5).
Explicação curta: o vetor normal é o vetor perpendicular ao plano; na equação ax+by+cz+d=0 o vetor (a,b,c) é perpendicular a qualquer vetor tangente ao plano.
Passo 3
Encontrar o vetor normal de \pi_{2}, que não está dado diretamente, mas pode ser obtido fazendo o produto vetorial (cross product) entre os dois vetores diretores.
Vetores diretores de \pi_{2}: \mathbf{v}_{1}=(1,0,-1) e \mathbf{v}_{2}=(-2,-3,-1).
O produto vetorial \mathbf{n}_{2}=\mathbf{v}_{1}\times\mathbf{v}_{2} dá um vetor perpendicular ao plano. Calculemos usando a regra de determinante (expansão por cofatores):
Procuramos \lambda tal que (1,5,-5)=\lambda(1,-1,1). Pela primeira coordenada \lambda=1. Pela segunda coordenada isso exigiria 5=\lambda(-1)=-1, o que é falso. Portanto não existe \lambda que torne os normais proporcionais.
Conclusão: os planos não são paralelos.
Passo 6
Concluir sobre a distância entre os planos.
Se dois planos não são paralelos, eles se intersectam em uma reta, então a menor distância entre eles é zero (existe ponto comum, logo distância mínima é zero).
Portanto, como \pi_{1} e \pi_{2} não são paralelos, a distância entre os planos é 0.
Observação útil (para quando os planos forem paralelos): se fossem paralelos com equações