Encontre as distâncias:
Do ponto P_{0}=(0,-1,4) à reta r: \frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{5}

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P_{0}=(0,-1,4) à reta r dada por
\frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{5}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • As coordenadas do ponto: P_{0}=(0,-1,4).
  • A reta r está em forma simétrica, o que contém um ponto da reta e o vetor diretor da reta.
    A pergunta é: qual é a distância (menor comprimento) entre P_{0} e qualquer ponto da reta r?

Passo 2

Vamos extrair da forma simétrica um ponto qualquer da reta e o vetor diretor. Tomamos o parâmetro t tal que
\frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{5}=t.
Daqui obtemos as equações paramétricas:
x=1+2t,\qquad y=4+3t,\qquad z=2+5t.
Escolhemos o ponto correspondente a t=0 para simplificar; esse ponto pertence à reta:
P=(1,4,2).
O vetor diretor da reta é formado pelos coeficientes de t:
v=(2,3,5).

Passo 3

Formamos o vetor que vai de um ponto da reta P até o ponto dado P_{0}. Fazemos a subtração componente a componente:
w = P_{0}-P = (0-1,\,-1-4,\;4-2)=(-1,-5,2).
Esse vetor w representa a posição de P_{0} vista a partir de P.

Passo 4

Agora a ideia geométrica/fórmula que vamos usar: a distância do ponto P_{0} à reta com ponto P e vetor diretor v é a altura do paralelogramo formado por w e v. A área desse paralelogramo é \|w\times v\| (módulo do produto vetorial) e a base tem comprimento \|v\|. Portanto a distância d é
d=\frac{\|w\times v\|}{\|v\|}.
Aqui:
  • w\times v é o produto vetorial de w por v;
  • \|\cdot\| denota o comprimento (norma) do vetor, isto é \|(a,b,c)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Eu escolhi esse método porque é direto, usa operações elementares com vetores (produto vetorial e norma) e dá a distância perpendicular sem precisar resolver sistema para o ponto de projeção.

Passo 5

Calculemos o produto vetorial w\times v. Usamos a fórmula do determinante:
w\times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & -5 & 2 \\\\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix}.
Desenvolvendo coordenada a coordenada:
(w\times v)_x = (-5)\cdot 5 - 2\cdot 3 = -25 - 6 = -31,
(w\times v)_y = -\big((-1)\cdot 5 - 2\cdot 2\big) = -(-5 -4) = 9,
(w\times v)_z = (-1)\cdot 3 - (-5)\cdot 2 = -3 +10 = 7.
Logo
w\times v = (-31,\,9,\,7).

Passo 6

Calculamos a norma do produto vetorial:
\|w\times v\| = \sqrt{(-31)^{2} + 9^{2} + 7^{2}} = \sqrt{961 + 81 + 49} = \sqrt{1091}.

Passo 7

Calculamos a norma do vetor diretor v:
\|v\| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}.

Passo 8

Substituímos na fórmula da distância:
d = \frac{\|w\times v\|}{\|v\|} = \frac{\sqrt{1091}}{\sqrt{38}} = \sqrt{\dfrac{1091}{38}}.
Se quiser uma aproximação numérica (para ver se faz sentido), temos d\approx 5{,}36, mas a forma exata em radicais é a mostrada acima.

Resposta

\sqrt{\dfrac{1091}{38}}

Exercícios relacionados