Encontre as distâncias:
Do ponto P_{0}=(0,-1,4) à reta r: \frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{5}
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto P_{0}=(0,-1,4) à reta r dada por
\frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{5}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
As coordenadas do ponto: P_{0}=(0,-1,4).
A reta r está em forma simétrica, o que contém um ponto da reta e o vetor diretor da reta.
A pergunta é: qual é a distância (menor comprimento) entre P_{0} e qualquer ponto da reta r?
Passo 2
Vamos extrair da forma simétrica um ponto qualquer da reta e o vetor diretor. Tomamos o parâmetro t tal que
\frac{x-1}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{5}=t.
Daqui obtemos as equações paramétricas:
x=1+2t,\qquad y=4+3t,\qquad z=2+5t.
Escolhemos o ponto correspondente a t=0 para simplificar; esse ponto pertence à reta:
P=(1,4,2).
O vetor diretor da reta é formado pelos coeficientes de t:
v=(2,3,5).
Passo 3
Formamos o vetor que vai de um ponto da reta P até o ponto dado P_{0}. Fazemos a subtração componente a componente:
w = P_{0}-P = (0-1,\,-1-4,\;4-2)=(-1,-5,2).
Esse vetor w representa a posição de P_{0} vista a partir de P.
Passo 4
Agora a ideia geométrica/fórmula que vamos usar: a distância do ponto P_{0} à reta com ponto P e vetor diretor v é a altura do paralelogramo formado por w e v. A área desse paralelogramo é \|w\times v\| (módulo do produto vetorial) e a base tem comprimento \|v\|. Portanto a distância d é
d=\frac{\|w\times v\|}{\|v\|}.
Aqui:
w\times v é o produto vetorial de w por v;
\|\cdot\| denota o comprimento (norma) do vetor, isto é \|(a,b,c)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Eu escolhi esse método porque é direto, usa operações elementares com vetores (produto vetorial e norma) e dá a distância perpendicular sem precisar resolver sistema para o ponto de projeção.
Passo 5
Calculemos o produto vetorial w\times v. Usamos a fórmula do determinante: