Encontre as distâncias:
Do ponto P=(0,-1,3) ao plano \pi que passa por A=(-1,1,2), B=(3,1,1) e C=(0,0,5)

Passo 1

O enunciado dá os pontos
P=(0,-1,3),\quad A=(-1,1,2),\quad B=(3,1,1),\quad C=(0,0,5)
e pede a distância do ponto P ao plano \pi que passa por A,B,C.
Informações relevantes que temos:
\text{Coordenadas de }P,\;A,\;B,\;C.
\text{O plano } \pi \text{ é o único plano determinado pelos três pontos }A,B,C \text{ (não colineares).}éúêã

Passo 2

Primeiro precisamos de dois vetores diretores do plano \pi. Eles podem ser obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos dados, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Calculemos componente a componente:
\overrightarrow{AB}=B-A=(3-(-1),\;1-1,\;1-2)=(4,0,-1),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-(-1),\;0-1,\;5-2)=(1,-1,3).
Explicação rápida: para obter \overrightarrow{XY} subtrai-se as coordenadas de X das de Y, componente a componente.

Passo 3

Um vetor normal \vec{n} ao plano é perpendicular a qualquer vetor diretor do plano. Podemos obter \vec{n} fazendo o produto vetorial (cross product) entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}.
Recordando a fórmula do produto vetorial em coordenadas:
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ u_1 & u_2 & u_3 \\\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (\,u_2v_3-u_3v_2,\;-(u_1v_3-u_3v_1),\;u_1v_2-u_2v_1\,).
Aplicando com u=\overrightarrow{AB}=(4,0,-1) e v=\overrightarrow{AC}=(1,-1,3):
\vec{n}=(0\cdot3-(-1)\cdot(-1),\;-(4\cdot3-(-1)\cdot1),\;4\cdot(-1)-0\cdot1).
Calculemos cada componente:
\text{1ª comp. }=0-1=-1,ª
\text{2ª comp. }=-(12-(-1))=-(13)=-13,ª
\text{3ª comp. }= -4.ª
Logo
\vec{n}=(-1,-13,-4).
Observação: um vetor normal pode ser multiplicado por -1 sem alterar a normalidade. Para ficar com coeficientes positivos, podemos usar também \vec{n}'=(1,13,4). Vou usar \vec{n}'=(1,13,4) para escrever a equação do plano de forma mais simples.

Passo 4

A equação geral de um plano com vetor normal \vec{n}=(a,b,c) que passa por um ponto A=(x_A,y_A,z_A) é dada por
a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.
Isso é equivalente a
ax+by+cz+d=0,
onde d=-(ax_A+by_A+cz_A). Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal e d é determinado para que o plano passe por A.
Usando \vec{n}'=(1,13,4) e o ponto A=(-1,1,2), calculemos d:
d=-(1\cdot(-1)+13\cdot1+4\cdot2)=-( -1+13+8)=-(20)=-20.
Portanto a equação do plano \pi é
1\cdot x +13\cdot y +4\cdot z -20=0,
ou de forma mais curta
x+13y+4z-20=0.
Podemos verificar rapidamente substituindo as coordenadas de A: -1+13\cdot1+4\cdot2-20=0, está correto. Também B e C satisfazem a equação (pode testar se quiser).

Passo 5

A fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) à reta do plano ax+by+cz+d=0 (na verdade ao plano) é
\text{dist}=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal do plano e d o termo constante da equação do plano. O numerador é o valor absoluto da substituição das coordenadas do ponto na equação (porque queremos distância, que é sempre não negativa) e o denominador é o comprimento do vetor normal (normalização).
No nosso caso, a=1, b=13, c=4, d=-20 e P=(0,-1,3). Substituindo:
\text{numerador}=|1\cdot0+13\cdot(-1)+4\cdot3-20|=|0-13+12-20|=|-21|=21.
Agora o denominador:
\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{1^2+13^2+4^2}=\sqrt{1+169+16}=\sqrt{186}.
Podemos deixar a distância na forma \dfrac{21}{\sqrt{186}} ou racionalizar / simplificar o fator comum: como 21 e 186 têm fator 3, note que
\frac{21}{\sqrt{186}}=\frac{21\sqrt{186}}{186}=\frac{7\sqrt{186}}{62}.

Passo 6

Resumo do procedimento que você pode usar na prova:
  • Ache dois vetores diretores do plano (subtração de coordenadas).
  • Faça o produto vetorial para obter um vetor normal (a,b,c).
  • Encontre d=-(ax_A+by_A+cz_A) usando um dos pontos do plano.
  • Use a fórmula da distância \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
    Você acabou de ver todos estes passos aplicados ao caso concreto.

Resposta

\displaystyle \frac{21}{\sqrt{186}}=\frac{7\sqrt{186}}{62}

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