e pede a distância do ponto P ao plano \pi que passa por A,B,C.
Informações relevantes que temos:
\text{Coordenadas de }P,\;A,\;B,\;C.
\text{O plano } \pi \text{ é o único plano determinado pelos três pontos }A,B,C \text{ (não colineares).}
Passo 2
Primeiro precisamos de dois vetores diretores do plano \pi. Eles podem ser obtidos subtraindo as coordenadas dos pontos dados, por exemplo \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Calculemos componente a componente:
Explicação rápida: para obter \overrightarrow{XY} subtrai-se as coordenadas de X das de Y, componente a componente.
Passo 3
Um vetor normal \vec{n} ao plano é perpendicular a qualquer vetor diretor do plano. Podemos obter \vec{n} fazendo o produto vetorial (cross product) entre \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
Observação: um vetor normal pode ser multiplicado por -1 sem alterar a normalidade. Para ficar com coeficientes positivos, podemos usar também \vec{n}'=(1,13,4). Vou usar \vec{n}'=(1,13,4) para escrever a equação do plano de forma mais simples.
Passo 4
A equação geral de um plano com vetor normal \vec{n}=(a,b,c) que passa por um ponto A=(x_A,y_A,z_A) é dada por
a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)=0.
Isso é equivalente a
ax+by+cz+d=0,
onde d=-(ax_A+by_A+cz_A). Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal e d é determinado para que o plano passe por A.
Usando \vec{n}'=(1,13,4) e o ponto A=(-1,1,2), calculemos d:
Podemos verificar rapidamente substituindo as coordenadas de A: -1+13\cdot1+4\cdot2-20=0, está correto. Também B e C satisfazem a equação (pode testar se quiser).
Passo 5
A fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) à reta do plano ax+by+cz+d=0 (na verdade ao plano) é
Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal do plano e d o termo constante da equação do plano. O numerador é o valor absoluto da substituição das coordenadas do ponto na equação (porque queremos distância, que é sempre não negativa) e o denominador é o comprimento do vetor normal (normalização).
No nosso caso, a=1, b=13, c=4, d=-20 e P=(0,-1,3). Substituindo: