Encontre as distâncias:
Do ponto P=(-2,0,3) ao plano \pi: 1 x-3 y+z-10=0.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.\n
  • Ponto dado: P = (-2,0,3).\n
  • Plano dado: \pi: 1 x - 3 y + z - 10 = 0.\n
  • Pergunta: calcular a distância do ponto P ao plano \pi.\n

Passo 2

Apresentação da fórmula que vamos usar e o significado das letras.\n
  • Seja um plano escrito na forma geral \,Ax+By+Cz+D=0\,. Os números A, B, C e D são constantes que definem o plano.\n
  • O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(A,B,C). Esse vetor é perpendicular ao plano.\n
  • A distância (menor distância, ortogonal) de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano é dada por
\text{dist}=\frac{\big|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\big|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
  • Explicando essa fórmula de forma simples: o numerador calcula quanto o ponto “sai” da igualdade do plano (é o valor da equação do plano avaliada no ponto); tomar o valor absoluto garante distância positiva. O denominador normaliza pela magnitude do vetor normal, transformando esse “desvio” num comprimento ortogonal verdadeiro.\n

Passo 3

Identificar A, B, C, D e o ponto (x_0,y_0,z_0) no nosso caso.\n
  • Do plano \pi: 1 x - 3 y + z - 10 = 0 obtemos A=1, B=-3, C=1, D=-10.\n
  • Do ponto P temos x_0=-2, y_0=0, z_0=3.\n

Passo 4

Calcular o numerador \big|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\big| passo a passo.\n
  • Primeiro calcule A x_0 + B y_0 + C z_0 + D:\n
1\cdot(-2) + (-3)\cdot 0 + 1\cdot 3 + (-10) = -2 + 0 + 3 - 10 = -9.\n
  • Tomando o valor absoluto: \big|-9\big| = 9.\n

Passo 5

Calcular o denominador \sqrt{A^2+B^2+C^2}.\n
  • Primeiro calcule A^2+B^2+C^2:\n
1^2 + (-3)^2 + 1^2 = 1 + 9 + 1 = 11.\n
  • Logo o denominador é \sqrt{11}.\n

Passo 6

Montar a expressão da distância e, se quiser, simplificar (racionalizar).\n
  • Usando a fórmula:
\text{dist} = \frac{9}{\sqrt{11}}.\n
  • Racionalizando o denominador (opcional):
\text{dist} = \frac{9\sqrt{11}}{11}.\n
(Bom trabalho até aqui — deu pra ver todas as etapas necessárias e como aplicar a fórmula sem mistério.)\n

Resposta

\dfrac{9}{\sqrt{11}}

Exercícios relacionados