Encontre as distâncias:
Do ponto P=(-2,0,3) ao plano \pi: 1 x-3 y+z-10=0.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado.\n
Ponto dado: P = (-2,0,3).\n
Plano dado: \pi: 1 x - 3 y + z - 10 = 0.\n
Pergunta: calcular a distância do ponto P ao plano \pi.\n
Passo 2
Apresentação da fórmula que vamos usar e o significado das letras.\n
Seja um plano escrito na forma geral \,Ax+By+Cz+D=0\,. Os números A, B, C e D são constantes que definem o plano.\n
O vetor normal ao plano é \mathbf{n}=(A,B,C). Esse vetor é perpendicular ao plano.\n
A distância (menor distância, ortogonal) de um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) ao plano é dada por
\text{dist}=\frac{\big|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\big|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
Explicando essa fórmula de forma simples: o numerador calcula quanto o ponto “sai” da igualdade do plano (é o valor da equação do plano avaliada no ponto); tomar o valor absoluto garante distância positiva. O denominador normaliza pela magnitude do vetor normal, transformando esse “desvio” num comprimento ortogonal verdadeiro.\n
Passo 3
Identificar A, B, C, D e o ponto (x_0,y_0,z_0) no nosso caso.\n
Do plano \pi: 1 x - 3 y + z - 10 = 0 obtemos A=1, B=-3, C=1, D=-10.\n
Do ponto P temos x_0=-2, y_0=0, z_0=3.\n
Passo 4
Calcular o numerador \big|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\big| passo a passo.\n